Номер 474, страница 130 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

474. Докажите, что значение выражения $25^{10} - 5^{17}$ кратно числу 31.

Чтобы доказать, что значение выражения $25^{10} - 5^{17}$ кратно числу 31, необходимо преобразовать данное выражение.

1. Представим число 25 как степень числа 5, поскольку $25 = 5^2$. Подставим это в исходное выражение: $25^{10} - 5^{17} = (5^2)^{10} - 5^{17}$

2. Воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{mn}$, чтобы упростить первое слагаемое: $(5^2)^{10} = 5^{2 \cdot 10} = 5^{20}$

3. Теперь выражение имеет вид: $5^{20} - 5^{17}$

4. Вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени, то есть $5^{17}$: $5^{17}(5^{20-17} - 1) = 5^{17}(5^3 - 1)$

5. Вычислим значение выражения в скобках: $5^3 - 1 = 125 - 1 = 124$

6. Таким образом, исходное выражение равно произведению: $5^{17} \cdot 124$

7. Чтобы доказать, что это произведение кратно 31, проверим, делится ли один из множителей на 31. Очевидно, что $5^{17}$ не делится на 31, так как 5 и 31 — простые числа. Проверим, делится ли на 31 число 124: $124 \div 31 = 4$

8. Поскольку $124 = 4 \cdot 31$, мы можем переписать наше выражение следующим образом: $5^{17} \cdot 124 = 5^{17} \cdot (4 \cdot 31) = 31 \cdot (4 \cdot 5^{17})$

Выражение представлено в виде произведения числа 31 и целого числа $(4 \cdot 5^{17})$, следовательно, оно кратно 31. Что и требовалось доказать.

Ответ: Поскольку выражение $25^{10} - 5^{17}$ можно представить в виде $31 \cdot (4 \cdot 5^{17})$, его значение кратно 31.