Номер 476, страница 130 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

476. Решите систему неравенств:

$\begin{cases} 2(x - 3) \geq -3(x + 2), \\ \frac{7x}{3} \leq 1 - \frac{x}{2}. \end{cases}$

Для решения системы неравенств необходимо решить каждое неравенство по отдельности и найти пересечение полученных множеств решений.

1. Решим первое неравенство: $2(x - 3) \ge -3(x + 2)$

Сначала раскроем скобки в обеих частях неравенства:

$2 \cdot x - 2 \cdot 3 \ge -3 \cdot x - 3 \cdot 2$

$2x - 6 \ge -3x - 6$

Теперь перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую, меняя их знаки на противоположные при переносе:

$2x + 3x \ge -6 + 6$

Приведем подобные слагаемые в каждой части:

$5x \ge 0$

Разделим обе части неравенства на 5. Так как 5 — положительное число, знак неравенства не меняется:

$x \ge 0$

Решением первого неравенства является числовой промежуток $[0; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $\frac{7x}{3} \le 1 - \frac{x}{2}$

Для удобства избавимся от знаменателей. Для этого умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 2, то есть на 6. Так как 6 — положительное число, знак неравенства не меняется:

$6 \cdot \frac{7x}{3} \le 6 \cdot (1 - \frac{x}{2})$

$\frac{42x}{3} \le 6 \cdot 1 - 6 \cdot \frac{x}{2}$

$14x \le 6 - 3x$

Перенесем слагаемое с переменной $x$ в левую часть:

$14x + 3x \le 6$

Приведем подобные слагаемые:

$17x \le 6$

Разделим обе части на 17 (положительное число, знак неравенства сохраняется):

$x \le \frac{6}{17}$

Решением второго неравенства является числовой промежуток $(-\infty; \frac{6}{17}]$.

3. Найдем решение системы

Решение системы — это пересечение решений обоих неравенств. Нам нужно найти значения $x$, которые удовлетворяют одновременно двум условиям: $x \ge 0$ и $x \le \frac{6}{17}$.

Пересечением промежутков $[0; +\infty)$ и $(-\infty; \frac{6}{17}]$ является отрезок $[0; \frac{6}{17}]$.

Таким образом, решение системы неравенств можно записать в виде двойного неравенства: $0 \le x \le \frac{6}{17}$.

Ответ: $[0; \frac{6}{17}]$