Номер 482, страница 131 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

482. Существуют ли 100 таких натуральных чисел, что любая сумма нескольких из них не является квадратом натурального числа?

Да, такие 100 натуральных чисел существуют. Мы можем доказать это, предъявив конструктивный способ их построения, основанный на свойствах квадратичных вычетов в теории чисел.

Идея состоит в том, чтобы выбрать все 100 чисел из одного класса вычетов по некоторому модулю так, чтобы любая их сумма попадала в другой класс вычетов, в котором нет ни одного полного квадрата.

Построение и доказательство:

1. Выбор модуля. Нам понадобится специальное простое число $p$. Мы хотим, чтобы для этого числа $p$ все целые числа от 1 до 100 были квадратичными вычетами. То есть, чтобы для любого $k \in \{1, 2, \ldots, 100\}$ сравнение $x^2 \equiv k \pmod p$ имело решение. В терминах символа Лежандра это означает, что $(\frac{k}{p}) = 1$ для всех $k \in \{1, 2, \ldots, 100\}$.

Чтобы такое число $p$ существовало, нам нужно, чтобы $(\frac{q}{p}) = 1$ для всех простых чисел $q \le 100$ (т.е., $q \in \{2, 3, 5, \ldots, 97\}$). Используя свойства символа Лежандра и закон квадратичной взаимности, для каждого такого $q$ условие $(\frac{q}{p}) = 1$ сводится к набору сравнений для $p$ по модулю $4q$. По Китайской теореме об остатках, эта система сравнений имеет решение. Более того, по теореме Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии, в этой прогрессии существует бесконечно много простых чисел. Следовательно, такое простое число $p$ существует. (Находить его явно не требуется, достаточно доказать его существование).

2. Выбор класса вычетов. Поскольку $p$ — простое число (можно считать, что $p > 2$), в поле вычетов по модулю $p$ существуют как квадратичные вычеты, так и квадратичные невычеты. Выберем любой квадратичный невычет $r$ по модулю $p$. Это значит, что $(\frac{r}{p}) = -1$.

3. Построение чисел. Теперь построим нашу последовательность из 100 натуральных чисел $a_1, a_2, \ldots, a_{100}$ так, чтобы все они были сравнимы с $r$ по модулю $p$:$a_i \equiv r \pmod p$ для всех $i = 1, 2, \ldots, 100$.Например, можно взять числа $a_i = r + (i-1)p$. Поскольку $r$ — натуральное число от 1 до $p-1$, все эти числа будут натуральными.

4. Проверка свойства. Возьмем любую сумму нескольких (скажем, $k$ штук) чисел из этого набора, где $1 \le k \le 100$. Обозначим эту сумму через $S$:$S = a_{i_1} + a_{i_2} + \ldots + a_{i_k}$

Рассмотрим эту сумму по модулю $p$:$S \equiv \underbrace{r + r + \ldots + r}_{k \text{ раз}} \pmod p$$S \equiv kr \pmod p$

Теперь определим, является ли $S$ квадратичным вычетом по модулю $p$. Для этого вычислим символ Лежандра $(\frac{S}{p})$:$(\frac{S}{p}) = (\frac{kr}{p})$

Используя свойство мультипликативности символа Лежандра, получаем:$(\frac{kr}{p}) = (\frac{k}{p}) (\frac{r}{p})$

По нашему выбору простого числа $p$ (шаг 1), для любого $k$ от 1 до 100, $k$ является квадратичным вычетом, то есть $(\frac{k}{p}) = 1$.По нашему выбору числа $r$ (шаг 2), $r$ является квадратичным невычетом, то есть $(\frac{r}{p}) = -1$.

Подставляем эти значения:$(\frac{S}{p}) = 1 \cdot (-1) = -1$

Это означает, что любая сумма $S$ является квадратичным невычетом по модулю $p$. Но если бы $S$ была полным квадратом, то есть $S = m^2$ для некоторого натурального $m$, то $S$ была бы квадратичным вычетом по модулю $p$ (или 0, если $p|m$, но мы можем выбрать $p$ достаточно большим, чтобы этого избежать). Так как $S$ является квадратичным невычетом, она не может быть полным квадратом.

Таким образом, мы доказали, что существует набор из 100 натуральных чисел, любая сумма которых не является квадратом натурального числа.

Ответ: Да, существуют.