Номер 3, страница 133 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

3. Решите неравенство:

1) $\frac{x+3}{x-1} > 0;$

2) $\frac{(x-2)(x+1)}{x-4} < 0;$

3) $\frac{(2x+1)(x-3)}{(2-x)(x-5)} < 0;$

4) $\frac{x^3(x-1)^4(x+5)}{(x-8)(1-4x)} > 0.$

1) Решим неравенство $\frac{x+3}{x-1} > 0$ методом интервалов.

Сначала найдем нули числителя и знаменателя. Это точки, в которых выражение может поменять знак.
Нуль числителя: $x+3 = 0 \implies x = -3$.
Нуль знаменателя (точка разрыва): $x-1 = 0 \implies x = 1$.
Отметим эти точки на числовой оси. Так как неравенство строгое ($>$), обе точки будут выколотыми (не включаются в решение).

Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty, -3)$, $(-3, 1)$ и $(1, \infty)$. Определим знак выражения на каждом интервале, подставив любое значение из него.

• При $x > 1$, например $x=2$: $\frac{2+3}{2-1} = 5 > 0$. Знак «+».
• При $-3 < x < 1$, например $x=0$: $\frac{0+3}{0-1} = -3 < 0$. Знак «-».
• При $x < -3$, например $x=-4$: $\frac{-4+3}{-4-1} = \frac{-1}{-5} = \frac{1}{5} > 0$. Знак «+».

Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля. Это $(-\infty, -3)$ и $(1, \infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup (1, \infty)$.

2) Решим неравенство $\frac{(x-2)(x+1)}{x-4} < 0$ методом интервалов.

Нули числителя: $(x-2)(x+1) = 0 \implies x_1=2, x_2=-1$.
Нуль знаменателя: $x-4=0 \implies x_3=4$.
Отметим точки -1, 2, 4 на числовой оси. Неравенство строгое (<), поэтому все точки выколотые.

Определим знаки на интервалах. Так как все множители имеют первую степень, знаки будут чередоваться. Проверим знак на крайнем правом интервале $(4, \infty)$, взяв $x=5$:
$\frac{(5-2)(5+1)}{5-4} = \frac{3 \cdot 6}{1} = 18 > 0$. Знак «+».
Расставим знаки на остальных интервалах: $(-\infty, -1)$ - «-»; $(-1, 2)$ - «+»; $(2, 4)$ - «-».
Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля. Это $(-\infty, -1)$ и $(2, 4)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (2, 4)$.

3) Решим неравенство $\frac{(2x+1)(x-3)}{(2-x)(x-5)} < 0$.

Приведем неравенство к стандартному виду, чтобы коэффициент при $x$ во всех множителях был положительным.
$2-x = -(x-2)$.
Неравенство принимает вид: $\frac{(2x+1)(x-3)}{-(x-2)(x-5)} < 0$.
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$\frac{(2x+1)(x-3)}{(x-2)(x-5)} > 0$.
Найдем нули:
$2x+1=0 \implies x = -0.5$
$x-3=0 \implies x = 3$
$x-2=0 \implies x = 2$
$x-5=0 \implies x = 5$
Отметим точки -0.5, 2, 3, 5 на числовой оси. Все точки выколотые.

Проверим знак на крайнем правом интервале $(5, \infty)$, взяв $x=6$:
$\frac{(2\cdot 6+1)(6-3)}{(6-2)(6-5)} = \frac{13 \cdot 3}{4 \cdot 1} > 0$. Знак «+».
Так как все корни имеют нечетную кратность (равную 1), знаки чередуются.
Нам нужны интервалы, где преобразованное выражение больше нуля. Это $(-\infty, -0.5)$, $(2, 3)$ и $(5, \infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -0.5) \cup (2, 3) \cup (5, \infty)$.

4) Решим неравенство $\frac{x^3(x-1)^4(x+5)}{(x-8)(1-4x)} > 0$.

Преобразуем множитель $(1-4x) = -(4x-1)$.
$\frac{x^3(x-1)^4(x+5)}{-(x-8)(4x-1)} > 0$.
Умножим на -1 и поменяем знак неравенства:
$\frac{x^3(x-1)^4(x+5)}{(x-8)(4x-1)} < 0$.
Найдем нули и определим их кратность:
$x=0$ (из $x^3$, кратность 3 - нечетная)
$x=1$ (из $(x-1)^4$, кратность 4 - четная)
$x=-5$ (из $x+5$, кратность 1 - нечетная)
$x=8$ (из $x-8$, кратность 1 - нечетная)
$x=1/4$ (из $4x-1$, кратность 1 - нечетная)
Отметим точки -5, 0, 1/4, 1, 8 на числовой оси. Все точки выколотые.

Определим знак на крайнем правом интервале $(8, \infty)$, взяв $x=10$:
$\frac{10^3(10-1)^4(10+5)}{(10-8)(4\cdot 10-1)} > 0$. Знак «+».
Двигаясь справа налево, меняем знак при переходе через корень нечетной кратности и сохраняем знак при переходе через корень четной кратности.

• $(8, \infty)$: «+»
• $x=8$ (нечетная): знак меняется. Интервал $(1, 8)$: «-»
• $x=1$ (четная): знак сохраняется. Интервал $(1/4, 1)$: «-»
• $x=1/4$ (нечетная): знак меняется. Интервал $(0, 1/4)$: «+»
• $x=0$ (нечетная): знак меняется. Интервал $(-5, 0)$: «-»
• $x=-5$ (нечетная): знак меняется. Интервал $(-\infty, -5)$: «+»

Нам нужны интервалы, где преобразованное выражение меньше нуля. Это $(-5, 0)$, $(1/4, 1)$ и $(1, 8)$.
Ответ: $x \in (-5, 0) \cup (1/4, 1) \cup (1, 8)$.