Номер 5, страница 134 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

5. Какова область определения функции $f(x) = \frac{5}{\sqrt{8x - 4x^2}}$?

А) $(-\infty; 0] \cup [2; +\infty)$

Б) $(-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$

В) $[0; 2]$

Г) $(0; 2)$

Для нахождения области определения функции $f(x) = \frac{5}{\sqrt{8x - 4x^2}}$ необходимо определить, при каких значениях $x$ выражение имеет смысл.

В данной функции есть две особенности:
1. Наличие квадратного корня. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $8x - 4x^2 \ge 0$.
2. Наличие знаменателя. Знаменатель не может быть равен нулю: $\sqrt{8x - 4x^2} \ne 0$.

Объединение этих двух условий означает, что выражение под знаком корня в знаменателе должно быть строго положительным:
$8x - 4x^2 > 0$

Решим это квадратное неравенство. Для начала разделим обе части на 4, чтобы упростить выражение:
$2x - x^2 > 0$

Вынесем $x$ за скобки:
$x(2 - x) > 0$

Чтобы решить это неравенство, найдем нули функции $y = x(2 - x)$.
$x(2 - x) = 0$
Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.

Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; 0)$, $(0; 2)$ и $(2; +\infty)$.
Так как неравенство имеет вид $x(2-x) > 0$, а графиком функции $y = 2x - x^2$ является парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ отрицательный), то положительные значения функция принимает между своими корнями.
Следовательно, решением неравенства является интервал $(0; 2)$.

Таким образом, область определения функции — это все значения $x$, принадлежащие интервалу $(0; 2)$.
Сравнивая с предложенными вариантами, видим, что это соответствует варианту Г.

Ответ: Г