Номер 6, страница 134 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

6. Укажите неравенство, не имеющее решений.

А) $x^2 - 6x + 10 < 0$

Б) $-5x^2 + 3x + 2 > 0$

В) $-3x^2 + 8x + 3 < 0$

Г) $-x^2 - 10x > 0$

Для того чтобы указать неравенство, не имеющее решений, проанализируем каждое из предложенных вариантов, исследовав свойства соответствующей квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$.

А) $x^2 - 6x + 10 < 0$

Рассмотрим квадратичную функцию $y = x^2 - 6x + 10$.
Старший коэффициент $a = 1$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
Найдем дискриминант соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 6x + 10 = 0$:
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 36 - 40 = -4$.
Поскольку дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней, а значит, парабола не пересекает ось абсцисс (Ox).
Так как ветви параболы направлены вверх и она полностью расположена выше оси Ox, то выражение $x^2 - 6x + 10$ принимает только положительные значения при любом действительном $x$.
Неравенство $x^2 - 6x + 10 < 0$ требует найти значения $x$, при которых функция отрицательна. Таких значений не существует.
Ответ: данное неравенство не имеет решений.

Б) $-5x^2 + 3x + 2 > 0$

Рассмотрим квадратичную функцию $y = -5x^2 + 3x + 2$.
Старший коэффициент $a = -5$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot (-5) \cdot 2 = 9 + 40 = 49$.
Поскольку $D > 0$, парабола пересекает ось Ox в двух точках.
Так как ветви параболы направлены вниз, функция принимает положительные значения на интервале между корнями. Следовательно, неравенство имеет решения.
Ответ: данное неравенство имеет решения.

В) $-3x^2 + 8x + 3 < 0$

Рассмотрим квадратичную функцию $y = -3x^2 + 8x + 3$.
Старший коэффициент $a = -3$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot (-3) \cdot 3 = 64 + 36 = 100$.
Поскольку $D > 0$, парабола пересекает ось Ox в двух точках.
Так как ветви параболы направлены вниз, функция принимает отрицательные значения на промежутках за пределами интервала между корнями. Следовательно, неравенство имеет решения.
Ответ: данное неравенство имеет решения.

Г) $-x^2 - 10x > 0$

Рассмотрим квадратичную функцию $y = -x^2 - 10x$.
Старший коэффициент $a = -1$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.
Найдем корни уравнения $-x^2 - 10x = 0$, вынеся общий множитель: $-x(x + 10) = 0$. Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = -10$.
Поскольку парабола имеет два действительных корня и ее ветви направлены вниз, она принимает положительные значения на интервале между корнями $(-10; 0)$. Следовательно, неравенство имеет решения.
Ответ: данное неравенство имеет решения.

Проанализировав все варианты, мы установили, что единственное неравенство, не имеющее решений, — это неравенство из пункта А).