Номер 4, страница 133 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

4. Решите неравенство:

1) $\frac{1}{x} < 1;$

2) $\frac{x}{x+3} > \frac{1}{2};$

3) $\frac{1}{x+2} < \frac{3}{x-3};$

4) $\frac{4}{x+1} + \frac{2}{1-x} < 1.$

1) $\frac{1}{x} < 1$
Для решения неравенства перенесем все его члены в левую часть:
$\frac{1}{x} - 1 < 0$
Приведем выражение к общему знаменателю:
$\frac{1 - x}{x} < 0$
Решим полученное рациональное неравенство методом интервалов. Для этого найдем нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $1 - x = 0 \Rightarrow x = 1$.
Нуль знаменателя: $x = 0$.
Отметим точки $x=0$ и $x=1$ на числовой прямой. Обе точки будут выколотыми (незакрашенными), так как неравенство строгое, а $x=0$ к тому же обращает знаменатель в ноль. Эти точки разбивают числовую прямую на три интервала: $(-\infty, 0)$, $(0, 1)$ и $(1, \infty)$.
Определим знак выражения $\frac{1-x}{x}$ в каждом интервале:
- В интервале $(-\infty, 0)$, взяв, например, $x=-1$, получаем $\frac{1-(-1)}{-1} = \frac{2}{-1} = -2 < 0$. Знак "минус".
- В интервале $(0, 1)$, взяв, например, $x=0.5$, получаем $\frac{1-0.5}{0.5} = \frac{0.5}{0.5} = 1 > 0$. Знак "плюс".
- В интервале $(1, \infty)$, взяв, например, $x=2$, получаем $\frac{1-2}{2} = -\frac{1}{2} < 0$. Знак "минус".
Поскольку мы решаем неравенство $\frac{1 - x}{x} < 0$, нам нужны интервалы, где выражение отрицательно (имеет знак "минус").
Ответ: $x \in (-\infty, 0) \cup (1, \infty)$.

2) $\frac{x}{x+3} > \frac{1}{2}$
Перенесем все члены в левую часть неравенства:
$\frac{x}{x+3} - \frac{1}{2} > 0$
Приведем дроби к общему знаменателю $2(x+3)$:
$\frac{2x - 1(x+3)}{2(x+3)} > 0$
$\frac{2x - x - 3}{2(x+3)} > 0$
$\frac{x - 3}{2(x+3)} > 0$
Решим неравенство методом интервалов.
Нуль числителя: $x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$.
Нуль знаменателя: $x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$.
Нанесем точки $x=-3$ и $x=3$ на числовую ось. Обе точки выколотые, так как неравенство строгое и $x=-3$ не входит в область определения.
Определим знаки выражения $\frac{x-3}{2(x+3)}$ на интервалах $(-\infty, -3)$, $(-3, 3)$ и $(3, \infty)$:
- При $x \in (-\infty, -3)$, например $x=-4$: $\frac{-4-3}{2(-4+3)} = \frac{-7}{-2} > 0$. Знак "плюс".
- При $x \in (-3, 3)$, например $x=0$: $\frac{0-3}{2(0+3)} = \frac{-3}{6} < 0$. Знак "минус".
- При $x \in (3, \infty)$, например $x=4$: $\frac{4-3}{2(4+3)} = \frac{1}{14} > 0$. Знак "плюс".
Так как мы решаем неравенство $> 0$, выбираем интервалы со знаком "плюс".
Ответ: $x \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty)$.

3) $\frac{1}{x+2} < \frac{3}{x-3}$
Перенесем все члены в левую часть:
$\frac{1}{x+2} - \frac{3}{x-3} < 0$
Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq -2$ и $x \neq 3$. Приведем к общему знаменателю $(x+2)(x-3)$:
$\frac{1(x-3) - 3(x+2)}{(x+2)(x-3)} < 0$
$\frac{x-3 - 3x - 6}{(x+2)(x-3)} < 0$
$\frac{-2x - 9}{(x+2)(x-3)} < 0$
Для удобства умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный:
$\frac{2x + 9}{(x+2)(x-3)} > 0$
Решим методом интервалов.
Нуль числителя: $2x + 9 = 0 \Rightarrow x = -4.5$.
Нули знаменателя: $x+2=0 \Rightarrow x=-2$ и $x-3=0 \Rightarrow x=3$.
Нанесем точки $x=-4.5$, $x=-2$, $x=3$ на числовую ось. Все точки выколотые.
Определим знаки выражения $\frac{2x+9}{(x+2)(x-3)}$ на полученных интервалах:
- При $x \in (-\infty, -4.5)$, например $x=-5$: $\frac{2(-5)+9}{(-5+2)(-5-3)} = \frac{-1}{(-3)(-8)} < 0$. Знак "минус".
- При $x \in (-4.5, -2)$, например $x=-3$: $\frac{2(-3)+9}{(-3+2)(-3-3)} = \frac{3}{(-1)(-6)} > 0$. Знак "плюс".
- При $x \in (-2, 3)$, например $x=0$: $\frac{0+9}{(0+2)(0-3)} = \frac{9}{-6} < 0$. Знак "минус".
- При $x \in (3, \infty)$, например $x=4$: $\frac{2(4)+9}{(4+2)(4-3)} = \frac{17}{6} > 0$. Знак "плюс".
Так как мы решаем неравенство $> 0$, выбираем интервалы со знаком "плюс".
Ответ: $x \in (-4.5, -2) \cup (3, \infty)$.

4) $\frac{4}{x+1} + \frac{2}{1-x} < 1$
ОДЗ: $x \neq -1$ и $x \neq 1$. Преобразуем вторую дробь: $\frac{2}{1-x} = -\frac{2}{x-1}$.
$\frac{4}{x+1} - \frac{2}{x-1} < 1$
Перенесем 1 в левую часть и приведем все к общему знаменателю $(x+1)(x-1)$:
$\frac{4(x-1) - 2(x+1) - 1(x+1)(x-1)}{(x+1)(x-1)} < 0$
Раскроем скобки в числителе:
$\frac{4x - 4 - 2x - 2 - (x^2 - 1)}{(x+1)(x-1)} < 0$
$\frac{2x - 6 - x^2 + 1}{(x+1)(x-1)} < 0$
$\frac{-x^2 + 2x - 5}{(x+1)(x-1)} < 0$
Умножим обе части на -1 и поменяем знак неравенства:
$\frac{x^2 - 2x + 5}{(x+1)(x-1)} > 0$
Рассмотрим числитель $x^2 - 2x + 5$. Найдем его дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16$.
Так как дискриминант $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1>0$), то квадратный трехчлен $x^2 - 2x + 5$ принимает только положительные значения при любых $x$.
Поскольку числитель всегда положителен, знак дроби зависит только от знака знаменателя. Таким образом, неравенство равносильно следующему:
$(x+1)(x-1) > 0$
Решим это неравенство методом интервалов. Корни: $x=-1$ и $x=1$.
Определим знаки выражения $(x+1)(x-1)$ на интервалах $(-\infty, -1)$, $(-1, 1)$, $(1, \infty)$:
- При $x \in (-\infty, -1)$, например $x=-2$: $(-2+1)(-2-1) = (-1)(-3) = 3 > 0$. Знак "плюс".
- При $x \in (-1, 1)$, например $x=0$: $(0+1)(0-1) = -1 < 0$. Знак "минус".
- При $x \in (1, \infty)$, например $x=2$: $(2+1)(2-1) = 3 > 0$. Знак "плюс".
Выбираем интервалы со знаком "плюс".
Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$.