Номер 7, страница 134 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

7. Пары чисел $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ являются решениями системы уравнений

$$\begin{cases} y - x = 2, \\ xy - y = 10. \end{cases}$$

Чему равно значение выражения $x_1 y_1 + x_2 y_2$?

А) 23

Б) 7

В) 35

Г) -26

Дана система уравнений, решениями которой являются пары чисел $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$: $$ \begin{cases} y - x = 2, \\ xy - y = 10. \end{cases} $$ Требуется найти значение выражения $x_1y_1 + x_2y_2$.

Решение:

Для решения системы уравнений воспользуемся методом подстановки.

1. Из первого уравнения выразим переменную $y$ через $x$:
$y - x = 2$
$y = x + 2$

2. Подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение системы:
$xy - y = 10$
$x(x + 2) - (x + 2) = 10$

3. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение:
$x^2 + 2x - x - 2 = 10$
$x^2 + x - 2 - 10 = 0$
$x^2 + x - 12 = 0$

4. Решим полученное квадратное уравнение. Его корни $x_1$ и $x_2$ являются первыми компонентами искомых пар решений. Найдем их по теореме Виета. Для уравнения вида $ax^2+bx+c=0$ сумма корней $x_1+x_2 = -b/a$, а произведение $x_1x_2 = c/a$. В нашем случае $a=1, b=1, c=-12$:
$$ \begin{cases} x_1 + x_2 = -1 \\ x_1 \cdot x_2 = -12 \end{cases} $$ Методом подбора находим корни: $x_1 = -4$ и $x_2 = 3$.

5. Найдем соответствующие значения $y_1$ и $y_2$, используя ранее полученную зависимость $y = x + 2$:
Для $x_1 = -4$: $y_1 = -4 + 2 = -2$.
Для $x_2 = 3$: $y_2 = 3 + 2 = 5$.

Таким образом, решениями системы являются две пары чисел: $(-4; -2)$ и $(3; 5)$.

6. Теперь вычислим значение искомого выражения $x_1y_1 + x_2y_2$:
$x_1y_1 + x_2y_2 = (-4) \cdot (-2) + 3 \cdot 5 = 8 + 15 = 23$.

Среди предложенных вариантов ответа (А) 23, Б) 7, В) 35, Г) -26) наш результат соответствует варианту А.

Ответ: 23