Страница 134 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. При каких значениях x выполняется неравенство $x^2 > 4$?

А) $x > 2$

Б) $x > 2$ или $x > -2$

В) $x < -2$ или $x > 2$

Г) $-2 < x < 2$

Для определения правильного ответа проанализируем каждый из предложенных вариантов.

А) $x > 2$

Этот вариант является неполным. Он включает только положительные значения $x$, для которых неравенство верно. Однако, существуют и отрицательные значения $x$, удовлетворяющие условию. Например, если $x = -3$, то $x^2 = (-3)^2 = 9$, и $9 > 4$. Так как значение $x = -3$ не входит в промежуток $x > 2$, данный ответ является неполным.

Б) $x > 2$ или $x > -2$

Объединение двух условий, $x > 2$ и $x > -2$, равносильно одному, более общему условию: $x > -2$. Проверим это решение. Возьмем значение $x = 1$, которое удовлетворяет условию $x > -2$. Подставим его в исходное неравенство: $1^2 = 1$. Неравенство $1 > 4$ является ложным. Следовательно, этот ответ неверен.

В) $x < -2$ или $x > 2$

Это правильный ответ. Чтобы убедиться в этом, решим исходное неравенство $x^2 > 4$. Его можно переписать как $x^2 - 4 > 0$. Разложив левую часть на множители по формуле разности квадратов, получим $(x - 2)(x + 2) > 0$. Это неравенство выполняется, когда оба множителя имеют одинаковый знак. Случай 1: Оба множителя положительны. $x - 2 > 0$ и $x + 2 > 0$, что равносильно $x > 2$ и $x > -2$. Общее решение здесь — $x > 2$. Случай 2: Оба множителя отрицательны. $x - 2 < 0$ и $x + 2 < 0$, что равносильно $x < 2$ и $x < -2$. Общее решение здесь — $x < -2$. Объединяя оба случая, получаем $x < -2$ или $x > 2$. Это в точности совпадает с данным вариантом ответа.

Г) $-2 < x < 2$

Этот промежуток является решением для строгого неравенства $x^2 < 4$. Любое значение $x$ из этого интервала при возведении в квадрат даст число, меньшее 4 (например, при $x = 1$, $1^2 = 1 < 4$). Так как в задаче требуется найти значения, для которых $x^2 > 4$, этот ответ неверен.

Ответ: В) $x < -2$ или $x > 2$

2. Каково множество решений неравенства $x^2 + 8x - 9 \ge 0$?

А) $(-\infty; -9) \cup (1; +\infty)$

Б) $(-\infty; -9] \cup [1; +\infty)$

В) $(-\infty; -1) \cup (9; +\infty)$

Г) $(-\infty; -1] \cup [9; +\infty)$

Для решения квадратного неравенства $x^2 + 8x - 9 \ge 0$ необходимо сначала найти корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 8x - 9 = 0$.

Сделаем это с помощью дискриминанта. Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=8$, $c=-9$.

Дискриминант $D$ вычисляется по формуле:

$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. $\sqrt{D} = 10$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - 10}{2 \cdot 1} = \frac{-18}{2} = -9$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + 10}{2 \cdot 1} = \frac{2}{2} = 1$

Найденные корни $x = -9$ и $x = 1$ являются точками, в которых парабола $y = x^2 + 8x - 9$ пересекает ось Ox. Так как коэффициент при $x^2$ (равный 1) положителен, ветви параболы направлены вверх. Неравенство $x^2 + 8x - 9 \ge 0$ выполняется там, где график параболы находится на оси Ox или выше нее. Это происходит на промежутках левее меньшего корня и правее большего корня. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), сами корни включаются в решение.

Таким образом, множеством решений является объединение промежутков $x \le -9$ и $x \ge 1$, что в интервальной записи выглядит как $(-\infty; -9] \cup [1; +\infty)$.

Ответ: Б) $(-\infty; -9] \cup [1; +\infty)$

3. Сколько целых решений имеет неравенство $3x^2 + 5x - 8 < 0$?

А) 3 Б) 4 В) 5 Г) 6

Для решения квадратного неравенства $3x^2 + 5x - 8 < 0$ необходимо сначала найти корни соответствующего квадратного уравнения $3x^2 + 5x - 8 = 0$.

Воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения. Коэффициенты уравнения: $a = 3$, $b = 5$, $c = -8$.

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 25 + 96 = 121$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-5 - \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 - 11}{6} = \frac{-16}{6} = -\frac{8}{3}$.
$x_2 = \frac{-5 + \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 + 11}{6} = \frac{6}{6} = 1$.

Графиком функции $y = 3x^2 + 5x - 8$ является парабола. Поскольку старший коэффициент $a = 3$ положителен, ветви параболы направлены вверх. Неравенство $3x^2 + 5x - 8 < 0$ будет выполняться на том промежутке, где парабола находится ниже оси Ox, то есть между корнями уравнения.

Таким образом, решением неравенства является интервал $(-\frac{8}{3}; 1)$.

Теперь необходимо найти количество целых чисел, которые принадлежат этому интервалу. Для удобства представим дробь $-\frac{8}{3}$ в виде смешанного числа: $-\frac{8}{3} = -2\frac{2}{3}$.

Ищем все целые числа $x$, удовлетворяющие условию $-2\frac{2}{3} < x < 1$.

Целыми числами, входящими в этот интервал, являются: -2, -1, 0.

Подсчитаем их количество: всего 3 целых решения.

Ответ: 3

4. Какое из данных неравенств выполняется при всех действительных значениях переменной?

А) $x^2 - 14x + 49 > 0$

Б) $-3x^2 + x + 2 \le 0$

В) $x^2 - 3x + 4 > 0$

Г) $-x^2 + 7x - 10 < 0$

Чтобы определить, какое из неравенств выполняется при всех действительных значениях переменной, необходимо проанализировать каждое из них. Квадратичное неравенство выполняется для всех действительных $x$, если график соответствующей квадратичной функции $y=ax^2+bx+c$ (парабола) целиком расположен в нужной полуплоскости относительно оси $Ox$. Это определяется знаком старшего коэффициента $a$ и знаком дискриминанта $D=b^2-4ac$.

А) $x^2 - 14x + 49 > 0$

Левая часть неравенства является полным квадратом: $x^2 - 14x + 49 = (x-7)^2$. Неравенство принимает вид $(x-7)^2 > 0$.

Выражение в левой части равно нулю при $x=7$ и строго положительно при всех остальных значениях $x$. Таким образом, неравенство не выполняется при $x=7$.

Альтернативно, для квадратного трехчлена $x^2 - 14x + 49$ имеем: старший коэффициент $a=1 > 0$, а дискриминант $D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 49 = 196 - 196 = 0$. Парабола касается оси $Ox$ в точке $x=7$ и направлена ветвями вверх. Значит, $x^2 - 14x + 49 \ge 0$ для всех $x$, а строгое неравенство $x^2 - 14x + 49 > 0$ выполняется для всех $x \ne 7$.

Ответ: Неравенство выполняется не при всех действительных значениях переменной.

Б) $-3x^2 + x + 2 \le 0$

Рассмотрим соответствующую квадратичную функцию $y = -3x^2 + x + 2$. Старший коэффициент $a=-3 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Найдем дискриминант: $D = 1^2 - 4(-3)(2) = 1 + 24 = 25$.

Поскольку $D = 25 > 0$, парабола пересекает ось $Ox$ в двух точках. Это означает, что функция принимает как положительные, так и отрицательные значения. Следовательно, неравенство не может выполняться для всех действительных $x$. Например, при $x=0$, получаем $2 \le 0$, что неверно.

Ответ: Неравенство выполняется не при всех действительных значениях переменной.

В) $x^2 - 3x + 4 > 0$

Рассмотрим соответствующую квадратичную функцию $y = x^2 - 3x + 4$. Старший коэффициент $a=1 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Найдем дискриминант: $D = (-3)^2 - 4(1)(4) = 9 - 16 = -7$.

Поскольку $D < 0$, парабола не имеет точек пересечения с осью $Ox$. Так как ветви параболы направлены вверх, вся парабола находится выше оси $Ox$. Это означает, что выражение $x^2 - 3x + 4$ всегда положительно.

Следовательно, неравенство $x^2 - 3x + 4 > 0$ выполняется при всех действительных значениях $x$.

Ответ: Неравенство выполняется при всех действительных значениях переменной.

Г) $-x^2 + 7x - 10 < 0$

Рассмотрим соответствующую квадратичную функцию $y = -x^2 + 7x - 10$. Старший коэффициент $a=-1 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Найдем дискриминант: $D = 7^2 - 4(-1)(-10) = 49 - 40 = 9$.

Поскольку $D > 0$, парабола пересекает ось $Ox$ в двух точках ($x_1=2, x_2=5$). Это означает, что функция принимает как положительные (между корнями), так и отрицательные значения (вне интервала между корнями). Следовательно, неравенство не может выполняться для всех действительных $x$. Например, при $x=3$, получаем $-(3)^2+7(3)-10 = -9+21-10=2$. Неравенство $2 < 0$ неверно.

Ответ: Неравенство выполняется не при всех действительных значениях переменной.

5. Какова область определения функции $f(x) = \frac{5}{\sqrt{8x - 4x^2}}$?

А) $(-\infty; 0] \cup [2; +\infty)$

Б) $(-\infty; 0) \cup (2; +\infty)$

В) $[0; 2]$

Г) $(0; 2)$

Для нахождения области определения функции $f(x) = \frac{5}{\sqrt{8x - 4x^2}}$ необходимо определить, при каких значениях $x$ выражение имеет смысл.

В данной функции есть две особенности:
1. Наличие квадратного корня. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $8x - 4x^2 \ge 0$.
2. Наличие знаменателя. Знаменатель не может быть равен нулю: $\sqrt{8x - 4x^2} \ne 0$.

Объединение этих двух условий означает, что выражение под знаком корня в знаменателе должно быть строго положительным:
$8x - 4x^2 > 0$

Решим это квадратное неравенство. Для начала разделим обе части на 4, чтобы упростить выражение:
$2x - x^2 > 0$

Вынесем $x$ за скобки:
$x(2 - x) > 0$

Чтобы решить это неравенство, найдем нули функции $y = x(2 - x)$.
$x(2 - x) = 0$
Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.

Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: $(-\infty; 0)$, $(0; 2)$ и $(2; +\infty)$.
Так как неравенство имеет вид $x(2-x) > 0$, а графиком функции $y = 2x - x^2$ является парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ отрицательный), то положительные значения функция принимает между своими корнями.
Следовательно, решением неравенства является интервал $(0; 2)$.

Таким образом, область определения функции — это все значения $x$, принадлежащие интервалу $(0; 2)$.
Сравнивая с предложенными вариантами, видим, что это соответствует варианту Г.

Ответ: Г

6. Укажите неравенство, не имеющее решений.

А) $x^2 - 6x + 10 < 0$

Б) $-5x^2 + 3x + 2 > 0$

В) $-3x^2 + 8x + 3 < 0$

Г) $-x^2 - 10x > 0$

Для того чтобы указать неравенство, не имеющее решений, проанализируем каждое из предложенных вариантов, исследовав свойства соответствующей квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$.

А) $x^2 - 6x + 10 < 0$

Рассмотрим квадратичную функцию $y = x^2 - 6x + 10$.
Старший коэффициент $a = 1$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
Найдем дискриминант соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 6x + 10 = 0$:
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 36 - 40 = -4$.
Поскольку дискриминант $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней, а значит, парабола не пересекает ось абсцисс (Ox).
Так как ветви параболы направлены вверх и она полностью расположена выше оси Ox, то выражение $x^2 - 6x + 10$ принимает только положительные значения при любом действительном $x$.
Неравенство $x^2 - 6x + 10 < 0$ требует найти значения $x$, при которых функция отрицательна. Таких значений не существует.
Ответ: данное неравенство не имеет решений.

Б) $-5x^2 + 3x + 2 > 0$

Рассмотрим квадратичную функцию $y = -5x^2 + 3x + 2$.
Старший коэффициент $a = -5$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot (-5) \cdot 2 = 9 + 40 = 49$.
Поскольку $D > 0$, парабола пересекает ось Ox в двух точках.
Так как ветви параболы направлены вниз, функция принимает положительные значения на интервале между корнями. Следовательно, неравенство имеет решения.
Ответ: данное неравенство имеет решения.

В) $-3x^2 + 8x + 3 < 0$

Рассмотрим квадратичную функцию $y = -3x^2 + 8x + 3$.
Старший коэффициент $a = -3$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot (-3) \cdot 3 = 64 + 36 = 100$.
Поскольку $D > 0$, парабола пересекает ось Ox в двух точках.
Так как ветви параболы направлены вниз, функция принимает отрицательные значения на промежутках за пределами интервала между корнями. Следовательно, неравенство имеет решения.
Ответ: данное неравенство имеет решения.

Г) $-x^2 - 10x > 0$

Рассмотрим квадратичную функцию $y = -x^2 - 10x$.
Старший коэффициент $a = -1$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.
Найдем корни уравнения $-x^2 - 10x = 0$, вынеся общий множитель: $-x(x + 10) = 0$. Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = -10$.
Поскольку парабола имеет два действительных корня и ее ветви направлены вниз, она принимает положительные значения на интервале между корнями $(-10; 0)$. Следовательно, неравенство имеет решения.
Ответ: данное неравенство имеет решения.

Проанализировав все варианты, мы установили, что единственное неравенство, не имеющее решений, — это неравенство из пункта А).

7. Пары чисел $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ являются решениями системы уравнений

$$\begin{cases} y - x = 2, \\ xy - y = 10. \end{cases}$$

Чему равно значение выражения $x_1 y_1 + x_2 y_2$?

А) 23

Б) 7

В) 35

Г) -26

Дана система уравнений, решениями которой являются пары чисел $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$: $$ \begin{cases} y - x = 2, \\ xy - y = 10. \end{cases} $$ Требуется найти значение выражения $x_1y_1 + x_2y_2$.

Решение:

Для решения системы уравнений воспользуемся методом подстановки.

1. Из первого уравнения выразим переменную $y$ через $x$:
$y - x = 2$
$y = x + 2$

2. Подставим полученное выражение для $y$ во второе уравнение системы:
$xy - y = 10$
$x(x + 2) - (x + 2) = 10$

3. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение:
$x^2 + 2x - x - 2 = 10$
$x^2 + x - 2 - 10 = 0$
$x^2 + x - 12 = 0$

4. Решим полученное квадратное уравнение. Его корни $x_1$ и $x_2$ являются первыми компонентами искомых пар решений. Найдем их по теореме Виета. Для уравнения вида $ax^2+bx+c=0$ сумма корней $x_1+x_2 = -b/a$, а произведение $x_1x_2 = c/a$. В нашем случае $a=1, b=1, c=-12$:
$$ \begin{cases} x_1 + x_2 = -1 \\ x_1 \cdot x_2 = -12 \end{cases} $$ Методом подбора находим корни: $x_1 = -4$ и $x_2 = 3$.

5. Найдем соответствующие значения $y_1$ и $y_2$, используя ранее полученную зависимость $y = x + 2$:
Для $x_1 = -4$: $y_1 = -4 + 2 = -2$.
Для $x_2 = 3$: $y_2 = 3 + 2 = 5$.

Таким образом, решениями системы являются две пары чисел: $(-4; -2)$ и $(3; 5)$.

6. Теперь вычислим значение искомого выражения $x_1y_1 + x_2y_2$:
$x_1y_1 + x_2y_2 = (-4) \cdot (-2) + 3 \cdot 5 = 8 + 15 = 23$.

Среди предложенных вариантов ответа (А) 23, Б) 7, В) 35, Г) -26) наш результат соответствует варианту А.

Ответ: 23

8. Какие фигуры являются графиками уравнений системы

$$\begin{cases} x^2 + y^2 = 5, \\ xy = -3? \end{cases}$$

А) прямая и парабола

Б) окружность и парабола

В) окружность и гипербола

Г) парабола и гипербола

Для определения фигур, которые являются графиками уравнений системы, необходимо рассмотреть каждое уравнение по отдельности.

Анализ первого уравнения: $x^2 + y^2 = 5$

Уравнение вида $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$ задает окружность с центром в точке $(a, b)$ и радиусом $R$. Уравнение $x^2 + y^2 = 5$ можно представить в виде $x^2 + y^2 = (\sqrt{5})^2$. Это каноническое уравнение окружности с центром в начале координат, точке $(0, 0)$, и радиусом $R = \sqrt{5}$. Таким образом, график первого уравнения — это окружность.

Анализ второго уравнения: $xy = -3$

Это уравнение можно записать в виде функции $y = -\frac{3}{x}$. Данное уравнение является уравнением обратной пропорциональности. Графиком функции вида $y = \frac{k}{x}$, где $k \neq 0$, является гипербола. В нашем случае $k = -3$, что означает, что ветви гиперболы расположены во второй и четвертой координатных четвертях. Таким образом, график второго уравнения — это гипербола.

В итоге, графиками уравнений системы являются окружность и гипербола. Сравнивая этот вывод с предложенными вариантами, мы находим, что правильный ответ находится под буквой В.

Ответ: В) окружность и гипербола

9. Сколько общих точек имеют графики уравнений

$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 10$ и $(x + 2)^2 + (y - 6)^2 = 4?$

А) 0

Б) 4

В) 2

Г) 1

Чтобы найти количество общих точек графиков, необходимо проанализировать уравнения. Каждое из данных уравнений является уравнением окружности в стандартном виде $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$, где $(x_0, y_0)$ — координаты центра, а $R$ — радиус окружности.

Анализ первого уравнения
Уравнение первой окружности: $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 10$.
Из этого уравнения определяем параметры первой окружности:
Центр $C_1$ находится в точке с координатами $(1, 2)$.
Радиус $R_1 = \sqrt{10}$.

Анализ второго уравнения
Уравнение второй окружности: $(x + 2)^2 + (y - 6)^2 = 4$.
Из этого уравнения определяем параметры второй окружности:
Центр $C_2$ находится в точке с координатами $(-2, 6)$.
Радиус $R_2 = \sqrt{4} = 2$.

Определение взаимного расположения окружностей
Количество точек пересечения двух окружностей зависит от соотношения между расстоянием $d$ между их центрами и суммой/разностью их радиусов.

1. Находим расстояние между центрами
Вычислим расстояние $d$ между центрами $C_1(1, 2)$ и $C_2(-2, 6)$ по формуле расстояния между двумя точками: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
$d = \sqrt{(-2 - 1)^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

2. Сравниваем расстояние с радиусами
Теперь сравним расстояние $d$ с суммой радиусов $R_1 + R_2$ и модулем их разности $|R_1 - R_2|$.

• Сумма радиусов: $R_1 + R_2 = \sqrt{10} + 2$.
• Модуль разности радиусов: $|R_1 - R_2| = |\sqrt{10} - 2|$. Поскольку $3^2=9$, то $\sqrt{10} > 3$, значит $\sqrt{10} - 2 > 0$. Таким образом, $|R_1 - R_2| = \sqrt{10} - 2$.

Окружности пересекаются в двух точках, если выполняется неравенство $|R_1 - R_2| < d < R_1 + R_2$.

3. Проверка условия пересечения
Подставим наши значения в неравенство: $\sqrt{10} - 2 < 5 < \sqrt{10} + 2$.
Проверим каждую часть этого двойного неравенства:
1) Левая часть: $\sqrt{10} - 2 < 5$. Прибавим 2 к обеим частям: $\sqrt{10} < 7$. Возведем обе положительные части в квадрат: $10 < 49$. Это неравенство верно.
2) Правая часть: $5 < \sqrt{10} + 2$. Вычтем 2 из обеих частей: $3 < \sqrt{10}$. Возведем обе положительные части в квадрат: $9 < 10$. Это неравенство также верно.
Поскольку условие $|R_1 - R_2| < d < R_1 + R_2$ полностью выполняется, окружности пересекаются в двух различных точках.

Ответ: В) 2

10. Сколько решений имеет система уравнений $ \begin{cases} x^2 - y = 4, \\ x + y = 1? \end{cases} $

А) решений нет

Б) одно решение

В) два решения

Г) четыре решения

Для того чтобы определить количество решений системы уравнений, решим ее. Дана система: $ \begin{cases} x^2 - y = 4 \\ x + y = 1 \end{cases} $

Воспользуемся методом подстановки. Из второго уравнения выразим переменную y через x:
$x + y = 1 \implies y = 1 - x$

Теперь подставим это выражение для y в первое уравнение системы:
$x^2 - (1 - x) = 4$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$:
$x^2 - 1 + x = 4$
$x^2 + x - 1 - 4 = 0$
$x^2 + x - 5 = 0$

Число решений системы уравнений равно числу действительных корней полученного квадратного уравнения. Чтобы найти количество корней, вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$. Для нашего уравнения коэффициенты равны: $a=1$, $b=1$, $c=-5$.

$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 1 + 20 = 21$

Поскольку дискриминант $D = 21 > 0$, квадратное уравнение имеет два различных действительных корня для переменной x. Для каждого найденного значения x можно однозначно определить соответствующее значение y из уравнения $y = 1 - x$.

Таким образом, исходная система уравнений имеет два решения.

Ответ: В) два решения