Номер 3, страница 134 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

3. Сколько целых решений имеет неравенство $3x^2 + 5x - 8 < 0$?

А) 3 Б) 4 В) 5 Г) 6

Для решения квадратного неравенства $3x^2 + 5x - 8 < 0$ необходимо сначала найти корни соответствующего квадратного уравнения $3x^2 + 5x - 8 = 0$.

Воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения. Коэффициенты уравнения: $a = 3$, $b = 5$, $c = -8$.

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 25 + 96 = 121$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-5 - \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 - 11}{6} = \frac{-16}{6} = -\frac{8}{3}$.
$x_2 = \frac{-5 + \sqrt{121}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 + 11}{6} = \frac{6}{6} = 1$.

Графиком функции $y = 3x^2 + 5x - 8$ является парабола. Поскольку старший коэффициент $a = 3$ положителен, ветви параболы направлены вверх. Неравенство $3x^2 + 5x - 8 < 0$ будет выполняться на том промежутке, где парабола находится ниже оси Ox, то есть между корнями уравнения.

Таким образом, решением неравенства является интервал $(-\frac{8}{3}; 1)$.

Теперь необходимо найти количество целых чисел, которые принадлежат этому интервалу. Для удобства представим дробь $-\frac{8}{3}$ в виде смешанного числа: $-\frac{8}{3} = -2\frac{2}{3}$.

Ищем все целые числа $x$, удовлетворяющие условию $-2\frac{2}{3} < x < 1$.

Целыми числами, входящими в этот интервал, являются: -2, -1, 0.

Подсчитаем их количество: всего 3 целых решения.

Ответ: 3