Номер 2, страница 133 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

2. Решите неравенство:

1) $(2x + 1)(x - 3)(x^2 + 4) < 0;$

2) $(2 - x)(3x + 5)(x^2 - x + 1) > 0;$

3) $(2x + 1)^2(x^2 - 4x + 3) > 0.$

1) Решим неравенство $(2x + 1)(x - 3)(x² + 4) < 0$.

Рассмотрим каждый множитель:

• $2x + 1 = 0 \implies x = -1/2$
• $x - 3 = 0 \implies x = 3$
• $x² + 4$. Так как $x² \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то $x² + 4 \ge 4$. Это означает, что множитель $x² + 4$ всегда положителен и на знак неравенства не влияет.

Таким образом, мы можем разделить обе части неравенства на положительное выражение $x² + 4$, не меняя знака неравенства. Получим:

$(2x + 1)(x - 3) < 0$

Это квадратичное неравенство. Решим его методом интервалов. Найдем корни уравнения $(2x + 1)(x - 3) = 0$. Корни: $x_1 = -1/2$ и $x_2 = 3$.

Отметим эти точки на числовой прямой и определим знаки выражения $(2x + 1)(x - 3)$ в каждом из получившихся интервалов:

• При $x < -1/2$ (например, $x = -1$): $(2(-1) + 1)(-1 - 3) = (-1)(-4) = 4 > 0$.
• При $-1/2 < x < 3$ (например, $x = 0$): $(2(0) + 1)(0 - 3) = (1)(-3) = -3 < 0$.
• При $x > 3$ (например, $x = 4$): $(2(4) + 1)(4 - 3) = (9)(1) = 9 > 0$.

Нас интересует интервал, где выражение меньше нуля.

Ответ: $x \in (-1/2; 3)$.

2) Решим неравенство $(2 - x)(3x + 5)(x² - x + 1) > 0$.

Рассмотрим множитель $x² - x + 1$. Найдем его дискриминант: $D = b² - 4ac = (-1)² - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3$.

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$) и старший коэффициент положителен ($a = 1 > 0$), то квадратный трехчлен $x² - x + 1$ принимает положительные значения при любых $x$.

Следовательно, мы можем разделить обе части неравенства на $x² - x + 1$, не меняя знака неравенства. Получим:

$(2 - x)(3x + 5) > 0$

Для удобства применения метода интервалов преобразуем множитель $(2 - x)$ к виду $-(x - 2)$:

$-(x - 2)(3x + 5) > 0$

Умножим обе части на $-1$ и изменим знак неравенства на противоположный:

$(x - 2)(3x + 5) < 0$

Найдем корни: $x - 2 = 0 \implies x = 2$; $3x + 5 = 0 \implies x = -5/3$.

Отметим точки $x = -5/3$ и $x = 2$ на числовой прямой и определим знаки выражения в интервалах:

• При $x < -5/3$: $(-)(-)=+$.
• При $-5/3 < x < 2$: $(-)(+)=-$.
• При $x > 2$: $(+)(+)=+$.

Нас интересует интервал, где выражение меньше нуля.

Ответ: $x \in (-5/3; 2)$.

3) Решим неравенство $(2x + 1)²(x² - 4x + 3) > 0$.

Рассмотрим множитель $(2x + 1)²$. Квадрат любого выражения, не равного нулю, всегда положителен. Он равен нулю при $2x + 1 = 0$, то есть при $x = -1/2$.

Поскольку неравенство строгое ($> 0$), левая часть не может быть равна нулю. Значит, мы должны исключить значение $x = -1/2$ из решения. При всех остальных $x$ множитель $(2x + 1)²$ положителен, и мы можем разделить на него неравенство:

$x² - 4x + 3 > 0$

Решим это квадратичное неравенство. Сначала найдем корни уравнения $x² - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.

Разложим левую часть на множители: $(x - 1)(x - 3) > 0$.

Методом интервалов находим, что это неравенство выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями, то есть при $x < 1$ или $x > 3$.

Теперь объединим это решение с условием $x \neq -1/2$.

Точка $x = -1/2$ входит в промежуток $x < 1$, поэтому ее нужно исключить.

Решение можно записать в виде объединения трех интервалов.

Ответ: $x \in (-\infty; -1/2) \cup (-1/2; 1) \cup (3; +\infty)$.