Номер 480, страница 131 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

480. (Задача Леонардо Пизанского (Фибоначчи).) Один говорит другому: «Дай мне 7 динариев, и я буду в 5 раз богаче тебя». А другой говорит: «Дай мне 5 динариев, и я буду в 7 раз богаче тебя». Сколько денег у каждого?

Для решения задачи введем переменные. Пусть у первого человека было $x$ динариев, а у второго — $y$ динариев.

Согласно первому условию, если второй человек даст первому 7 динариев, у первого станет $x+7$ динариев, а у второго останется $y-7$ динариев. При этом сумма у первого будет в 5 раз больше, чем у второго. Составим первое уравнение:
$x + 7 = 5(y - 7)$

Согласно второму условию, если первый человек даст второму 5 динариев, у первого станет $x-5$ динариев, а у второго — $y+5$ динариев. При этом сумма у второго будет в 7 раз больше, чем у первого. Составим второе уравнение:
$y + 5 = 7(x - 5)$

В результате мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
$\begin{cases}x + 7 = 5(y - 7) \\y + 5 = 7(x - 5)\end{cases}$
Упростим каждое уравнение, раскрыв скобки:
1) $x + 7 = 5y - 35 \implies x - 5y = -42$
2) $y + 5 = 7x - 35 \implies -7x + y = -40$
Теперь система выглядит так:
$\begin{cases}x - 5y = -42 \\-7x + y = -40\end{cases}$

Решим эту систему методом подстановки. Выразим $y$ из второго уравнения:
$y = 7x - 40$
Подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение:
$x - 5(7x - 40) = -42$
$x - 35x + 200 = -42$
$-34x = -42 - 200$
$-34x = -242$
$x = \frac{-242}{-34} = \frac{121}{17}$
Для удобства представим неправильную дробь в виде смешанного числа:
$x = 7 \frac{2}{17}$

Теперь, зная значение $x$, найдем $y$, подставив его в выражение $y = 7x - 40$:
$y = 7 \cdot \frac{121}{17} - 40$
$y = \frac{847}{17} - \frac{40 \cdot 17}{17} = \frac{847 - 680}{17}$
$y = \frac{167}{17}$
Представим в виде смешанного числа:
$y = 9 \frac{14}{17}$

Таким образом, у первого человека было $7 \frac{2}{17}$ динария, а у второго — $9 \frac{14}{17}$ динария.

Ответ: у первого человека было $7 \frac{2}{17}$ динария, у второго — $9 \frac{14}{17}$ динария.