Номер 481, страница 131 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

481. Из села $A$ в село $B$, расстояние между которыми равно 140 км, выехал мотоциклист. За 20 мин до этого навстречу ему из $B$ в $A$ выехал велосипедист, который встретился с мотоциклистом через 2 ч после своего выезда. Найдите скорость каждого из них, если мотоциклист за 2 ч проезжает на 104 км больше, чем велосипедист за 4 ч.

1. Введение переменных и составление первого уравнения.

Пусть $v_м$ (км/ч) — скорость мотоциклиста, а $v_в$ (км/ч) — скорость велосипедиста. Из условия известно, что мотоциклист за 2 часа проезжает на 104 км больше, чем велосипедист за 4 часа. Расстояние, которое проезжает мотоциклист за 2 часа, равно $2 \cdot v_м$. Расстояние, которое проезжает велосипедист за 4 часа, равно $4 \cdot v_в$. Составим первое уравнение на основе этой информации: $2v_м = 4v_в + 104$ Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения: $v_м = 2v_в + 52$

2. Составление второго уравнения.

Общее расстояние между селами А и В составляет 140 км. Велосипедист выехал из В в А. Через 20 минут после него из А в В выехал мотоциклист. Они встретились через 2 часа после выезда велосипедиста. Таким образом, время в пути велосипедиста до встречи составляет $t_в = 2$ часа. Время в пути мотоциклиста до встречи составляет на 20 минут меньше. Переведем 20 минут в часы: $20 \text{ мин} = \frac{20}{60} \text{ ч} = \frac{1}{3} \text{ ч}$. Время в пути мотоциклиста: $t_м = 2 - \frac{1}{3} = \frac{6}{3} - \frac{1}{3} = \frac{5}{3}$ часа. За это время велосипедист проехал расстояние $S_в = v_в \cdot t_в = 2v_в$ км. Мотоциклист за свое время проехал расстояние $S_м = v_м \cdot t_м = \frac{5}{3}v_м$ км. Так как они двигались навстречу друг другу, суммарное расстояние, которое они проехали до встречи, равно расстоянию между селами. Составим второе уравнение: $S_м + S_в = 140$ $\frac{5}{3}v_м + 2v_в = 140$

3. Решение системы уравнений.

Мы получили систему из двух уравнений: $ \begin{cases} v_м = 2v_в + 52 \\ \frac{5}{3}v_м + 2v_в = 140 \end{cases} $ Подставим выражение для $v_м$ из первого уравнения во второе: $\frac{5}{3}(2v_в + 52) + 2v_в = 140$ Раскроем скобки: $\frac{10}{3}v_в + \frac{260}{3} + 2v_в = 140$ Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части уравнения на 3: $3 \cdot (\frac{10}{3}v_в + \frac{260}{3} + 2v_в) = 3 \cdot 140$ $10v_в + 260 + 6v_в = 420$ Приведем подобные слагаемые: $16v_в = 420 - 260$ $16v_в = 160$ $v_в = \frac{160}{16} = 10$ Скорость велосипедиста равна 10 км/ч. Теперь найдем скорость мотоциклиста, подставив значение $v_в$ в первое уравнение: $v_м = 2v_в + 52 = 2 \cdot 10 + 52 = 20 + 52 = 72$ Скорость мотоциклиста равна 72 км/ч.

Ответ: скорость мотоциклиста — 72 км/ч, скорость велосипедиста — 10 км/ч.