Номер 475, страница 130 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

475. Упростите выражение:

$\frac{5a + 5}{a^2 - a} : \left( \frac{a + 3}{a^2 - 1} - \frac{1}{a^2 + a} \right).$

Чтобы упростить данное выражение, необходимо выполнить действия в определенном порядке: сначала вычитание в скобках, затем деление. Будем выполнять действия по шагам.

Исходное выражение:

$ \frac{5a + 5}{a^2 - a} : \left( \frac{a+3}{a^2 - 1} - \frac{1}{a^2 + a} \right) $

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

• $a^2 - a = a(a-1) \neq 0 \Rightarrow a \neq 0, a \neq 1$
• $a^2 - 1 = (a-1)(a+1) \neq 0 \Rightarrow a \neq 1, a \neq -1$
• $a^2 + a = a(a+1) \neq 0 \Rightarrow a \neq 0, a \neq -1$

Также выражение, на которое мы делим, не должно быть равно нулю. Это мы учтем позже.

1. Упрощение выражения в скобках

Выполним вычитание дробей $ \frac{a+3}{a^2 - 1} - \frac{1}{a^2 + a} $. Для этого приведем их к общему знаменателю.

Разложим знаменатели на множители:

$ a^2 - 1 = (a-1)(a+1) $

$ a^2 + a = a(a+1) $

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) равен $ a(a-1)(a+1) $.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$ \frac{a+3}{(a-1)(a+1)} - \frac{1}{a(a+1)} = \frac{a(a+3)}{a(a-1)(a+1)} - \frac{1 \cdot (a-1)}{a(a-1)(a+1)} $

Выполним вычитание числителей:

$ \frac{a(a+3) - (a-1)}{a(a-1)(a+1)} = \frac{a^2 + 3a - a + 1}{a(a-1)(a+1)} = \frac{a^2 + 2a + 1}{a(a-1)(a+1)} $

Заметим, что числитель $ a^2 + 2a + 1 $ является полным квадратом: $ (a+1)^2 $.

Подставим и сократим дробь:

$ \frac{(a+1)^2}{a(a-1)(a+1)} = \frac{a+1}{a(a-1)} $

2. Выполнение деления

Теперь исходное выражение можно записать так:

$ \frac{5a + 5}{a^2 - a} : \frac{a+1}{a(a-1)} $

Разложим на множители числитель и знаменатель первой дроби:

$ \frac{5(a+1)}{a(a-1)} : \frac{a+1}{a(a-1)} $

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на дробь, обратную ей:

$ \frac{5(a+1)}{a(a-1)} \cdot \frac{a(a-1)}{a+1} $

Теперь сократим общие множители $ (a+1) $ и $ a(a-1) $ в числителе и знаменателе:

$ \frac{5 \cdot (a+1) \cdot a(a-1)}{a(a-1) \cdot (a+1)} = 5 $

Выражение, на которое мы делили, $ \frac{a+1}{a(a-1)} $, не должно быть равно нулю, что означает $ a+1 \neq 0 $, то есть $ a \neq -1 $. Это условие уже учтено в ОДЗ.

Таким образом, при $ a \neq 0 $, $ a \neq 1 $ и $ a \neq -1 $ значение выражения равно 5.

Ответ: 5