Номер 473, страница 130 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

473. Сколько решений в зависимости от значения a имеет система уравнений:

1) $ \begin{cases} x^2 + y^2 = a, \\ |y| = 1; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 9, \\ y = a - |x|; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} x^2 + y^2 = a^2, \\ xy = 4? \end{cases} $

1) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = a \\ |y| = 1 \end{cases} $

Из второго уравнения следует, что $y = 1$ или $y = -1$. В обоих случаях $y^2 = 1$.
Подставим значение $y^2 = 1$ в первое уравнение системы: $x^2 + 1 = a$ $x^2 = a - 1$

Теперь проанализируем количество решений этого уравнения для $x$ в зависимости от значения $a-1$:

• Если $a - 1 > 0$, то есть $a > 1$, уравнение $x^2 = a - 1$ имеет два различных корня: $x_1 = \sqrt{a-1}$ и $x_2 = -\sqrt{a-1}$. Так как для каждого из этих значений $x$ существуют два значения $y$ ($y=1$ и $y=-1$), система будет иметь 4 решения: $(\sqrt{a-1}, 1)$, $(-\sqrt{a-1}, 1)$, $(\sqrt{a-1}, -1)$, $(-\sqrt{a-1}, -1)$.
• Если $a - 1 = 0$, то есть $a = 1$, уравнение $x^2 = 0$ имеет один корень: $x = 0$. В этом случае система имеет 2 решения: $(0, 1)$ и $(0, -1)$.
• Если $a - 1 < 0$, то есть $a < 1$, уравнение $x^2 = a - 1$ не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ:

• при $a < 1$ решений нет;
• при $a = 1$ — 2 решения;
• при $a > 1$ — 4 решения.

2) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 9 \\ y = a - |x| \end{cases} $

Решим эту задачу графически и аналитически. Первое уравнение $x^2 + y^2 = 9$ — это окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R=3$. Второе уравнение $y = a - |x|$ — это график функции $y = -|x|$ (уголок с вершиной в $(0,0)$, ветви которого направлены вниз), смещенный на $a$ единиц вверх по оси $Oy$. Вершина уголка находится в точке $(0, a)$. Количество решений системы равно количеству точек пересечения окружности и уголка.

Подставим второе уравнение в первое: $x^2 + (a - |x|)^2 = 9$ Так как $x^2 = |x|^2$, сделаем замену $t = |x|$, где $t \ge 0$. $t^2 + (a - t)^2 = 9$ $t^2 + a^2 - 2at + t^2 = 9$ $2t^2 - 2at + (a^2 - 9) = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно $t$. Количество решений исходной системы зависит от количества положительных корней этого уравнения.

• Если $t=0$, то $|x|=0$, что дает одно значение $x=0$.
• Если $t>0$, то $|x|=t$, что дает два значения $x = \pm t$.

Найдем дискриминант $D$: $D = (-2a)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (a^2 - 9) = 4a^2 - 8a^2 + 72 = 72 - 4a^2 = 4(18 - a^2)$.

Рассмотрим различные случаи в зависимости от $a$:

1. $D < 0 \implies 18 - a^2 < 0 \implies a^2 > 18 \implies a > 3\sqrt{2}$ или $a < -3\sqrt{2}$. Квадратное уравнение не имеет действительных корней $t$, система не имеет решений.
2. $D = 0 \implies a^2 = 18 \implies a = \pm 3\sqrt{2}$. Уравнение имеет один корень $t = \frac{2a}{4} = \frac{a}{2}$.
   • При $a = 3\sqrt{2}$, корень $t = \frac{3\sqrt{2}}{2} > 0$. Так как $t>0$, получаем два решения для $x$: $x = \pm \frac{3\sqrt{2}}{2}$. Система имеет 2 решения. Это случай касания уголка и окружности.
   • При $a = -3\sqrt{2}$, корень $t = -\frac{3\sqrt{2}}{2} < 0$. Так как $t$ не может быть отрицательным, действительных решений для $x$ нет. Система не имеет решений.
3. $D > 0 \implies a^2 < 18 \implies -3\sqrt{2} < a < 3\sqrt{2}$. Уравнение имеет два различных действительных корня $t_1, t_2$. Проанализируем их знаки, используя теорему Виета: $t_1 + t_2 = a$ и $t_1 t_2 = \frac{a^2 - 9}{2}$.
   • Если $a=3$: уравнение становится $2t^2 - 6t = 0 \implies 2t(t-3)=0$. Корни $t_1=0$ и $t_2=3$. $t_1=0 \implies x=0$ (1 решение). $t_2=3 \implies x=\pm 3$ (2 решения). Всего 3 решения. Это случай, когда вершина уголка лежит на окружности.
   • Если $a=-3$: уравнение становится $2t^2 + 6t = 0 \implies 2t(t+3)=0$. Корни $t_1=0$ и $t_2=-3$. $t_1=0 \implies x=0$ (1 решение). $t_2=-3$ не подходит, т.к. $t \ge 0$. Всего 1 решение. Вершина уголка в нижней точке окружности.
   • Если $3 < a < 3\sqrt{2}$: $t_1+t_2 = a > 0$ и $t_1 t_2 = \frac{a^2-9}{2} > 0$. Оба корня $t_1, t_2$ положительны. Каждый из них дает по два значения $x$. Всего 4 решения.
   • Если $-3 < a < 3$: $t_1 t_2 = \frac{a^2-9}{2} < 0$. Один корень положительный, другой отрицательный. Только положительный корень дает решения для $x$ (два значения). Всего 2 решения.
   • Если $-3\sqrt{2} < a < -3$: $t_1+t_2 = a < 0$ и $t_1 t_2 = \frac{a^2-9}{2} > 0$. Оба корня отрицательны. Решений для $x$ нет. Система не имеет решений.

Ответ:

• при $a < -3$ или $a > 3\sqrt{2}$ решений нет;
• при $a = -3$ — 1 решение;
• при $-3 < a < 3$ — 2 решения;
• при $a = 3$ — 3 решения;
• при $3 < a < 3\sqrt{2}$ — 4 решения;
• при $a = 3\sqrt{2}$ — 2 решения.

3) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = a^2 \\ xy = 4 \end{cases} $

Первое уравнение $x^2 + y^2 = a^2$ — это окружность с центром в начале координат и радиусом $R = |a|$. Второе уравнение $xy=4$ — это гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях.

Найдем кратчайшее расстояние от начала координат до точек гиперболы. Это расстояние до вершин гиперболы, которые лежат на прямой $y=x$. Подставив $y=x$ в $xy=4$, получаем $x^2=4$, откуда $x=\pm 2$. Вершины гиперболы — точки $(2, 2)$ и $(-2, -2)$. Расстояние от начала координат до этих точек одинаково и равно $d = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

Количество решений системы — это количество точек пересечения окружности и гиперболы. Оно зависит от соотношения радиуса окружности $R=|a|$ и расстояния $d=2\sqrt{2}$.

• Если радиус окружности меньше расстояния до вершин, $R < d$, то есть $|a| < 2\sqrt{2}$, пересечений нет.
• Если радиус равен расстоянию, $R = d$, то есть $|a| = 2\sqrt{2}$, окружность касается гиперболы в двух вершинах. 2 точки пересечения.
• Если радиус больше расстояния, $R > d$, то есть $|a| > 2\sqrt{2}$, окружность пересекает каждую из двух ветвей гиперболы в двух точках. Всего 4 точки пересечения.

Проверим аналитически. Из второго уравнения $y = 4/x$. Подставим в первое: $x^2 + (\frac{4}{x})^2 = a^2$ $x^2 + \frac{16}{x^2} = a^2$ $x^4 - a^2x^2 + 16 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $t = x^2$, где $t > 0$. $t^2 - a^2t + 16 = 0$. Дискриминант $D = (-a^2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = a^4 - 64$.

• Если $D < 0 \implies a^4 < 64 \implies a^2 < 8 \implies |a| < 2\sqrt{2}$. Уравнение для $t$ не имеет решений, значит, и система не имеет решений.
• Если $D = 0 \implies a^4 = 64 \implies |a| = 2\sqrt{2}$. Уравнение имеет один корень $t = \frac{a^2}{2} = \frac{8}{2} = 4$. Так как $t=x^2=4$, то $x = \pm 2$. Это дает 2 решения для системы: $(2, 2)$ и $(-2, -2)$.
• Если $D > 0 \implies a^4 > 64 \implies |a| > 2\sqrt{2}$. Уравнение для $t$ имеет два корня. По теореме Виета, их сумма $t_1+t_2=a^2 > 0$ и произведение $t_1 t_2 = 16 > 0$. Значит, оба корня $t_1, t_2$ положительны. Каждый из них ($x^2=t_1$ и $x^2=t_2$) дает по два значения $x$. Всего 4 решения для системы.

Ответ:

• при $|a| < 2\sqrt{2}$ (то есть $-2\sqrt{2} < a < 2\sqrt{2}$) решений нет;
• при $|a| = 2\sqrt{2}$ (то есть $a = \pm 2\sqrt{2}$) — 2 решения;
• при $|a| > 2\sqrt{2}$ (то есть $a < -2\sqrt{2}$ или $a > 2\sqrt{2}$) — 4 решения.