Страница 130 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

471. При каких значениях $k$ система уравнений $ \begin{cases} y - x^2 = 4, \\ y = kx + 3 \end{cases} $

1) имеет одно решение;

2) имеет два решения;

3) не имеет решений?

Для нахождения количества решений системы уравнений, мы можем приравнять правые части уравнений, так как в обоих левая часть равна $y$. Сначала выразим $y$ из первого уравнения:

$y - x^2 = 4 \implies y = x^2 + 4$

Теперь приравняем это выражение к второму уравнению системы:

$x^2 + 4 = kx + 3$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение относительно переменной $x$:

$x^2 - kx + 4 - 3 = 0$

$x^2 - kx + 1 = 0$

Количество решений исходной системы уравнений соответствует количеству действительных корней этого квадратного уравнения. Количество корней квадратного уравнения определяется знаком его дискриминанта $D$.

Для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$. В нашем случае коэффициенты равны: $a = 1$, $b = -k$, $c = 1$.

Найдем дискриминант:

$D = (-k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = k^2 - 4$

Теперь проанализируем количество решений для каждого из трех случаев.

1) имеет одно решение

Система имеет одно решение, если квадратное уравнение $x^2 - kx + 1 = 0$ имеет ровно один действительный корень. Это условие выполняется, когда дискриминант равен нулю ($D = 0$).

$k^2 - 4 = 0$

$k^2 = 4$

$k = \pm\sqrt{4}$

Таким образом, система имеет одно решение при $k=2$ и $k=-2$.

Ответ: при $k = -2$ и $k = 2$.

2) имеет два решения

Система имеет два решения, если квадратное уравнение имеет два различных действительных корня. Это условие выполняется, когда дискриминант больше нуля ($D > 0$).

$k^2 - 4 > 0$

$k^2 > 4$

Решением этого неравенства являются значения $k$, модуль которых больше 2, то есть $k < -2$ или $k > 2$.

Ответ: при $k \in (-\infty; -2) \cup (2; \infty)$.

3) не имеет решений

Система не имеет решений, если квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это условие выполняется, когда дискриминант меньше нуля ($D < 0$).

$k^2 - 4 < 0$

$k^2 < 4$

Решением этого неравенства являются значения $k$, модуль которых меньше 2, то есть $-2 < k < 2$.

Ответ: при $k \in (-2; 2)$.

472. Сколько решений в зависимости от значения a имеет система уравнений:

1) $\begin{cases} y = |x|, \\ x^2 + y = a; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 + y^2 = a^2, \\ |x| = 4; \end{cases}$

3) $\begin{cases} y - x = 1, \\ xy = a; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ y = x^2 + a? \end{cases}$

1)
Рассмотрим систему уравнений:
$ \begin{cases} y = |x| \\ x^2 + y = a \end{cases} $
Подставим $y$ из первого уравнения во второе:
$ x^2 + |x| = a $
Чтобы найти количество решений системы, нужно определить, сколько корней имеет это уравнение в зависимости от параметра $a$. Это эквивалентно нахождению количества точек пересечения графика функции $f(x) = x^2 + |x|$ с горизонтальной прямой $y=a$.
Функция $f(x)$ является четной, так как $f(-x) = (-x)^2 + |-x| = x^2 + |x| = f(x)$. Ее график симметричен относительно оси OY.
Минимальное значение функции достигается при $x=0$, и оно равно $f(0)=0$.
Таким образом, количество решений определяется положением прямой $y=a$:

• Если $a < 0$, прямая $y=a$ не пересекает график $f(x)$, так как $f(x) \ge 0$ для всех $x$. Решений нет.
• Если $a = 0$, уравнение $x^2+|x|=0$ имеет единственный корень $x=0$. Из первого уравнения системы находим $y=|0|=0$. Система имеет одно решение: $(0,0)$.
• Если $a > 0$, прямая $y=a$ пересекает график $f(x)$ в двух точках, симметричных относительно оси OY. Для каждого из двух значений $x$ ($x_0$ и $-x_0$) получаем одно и то же значение $y = |x_0| = |-x_0|$. Система имеет два решения.

Ответ: если $a < 0$ — нет решений; если $a=0$ — одно решение; если $a > 0$ — два решения.

2)
Рассмотрим систему уравнений:
$ \begin{cases} x^2 + y^2 = a^2 \\ |x| = 4 \end{cases} $
Из второго уравнения следует, что $x=4$ или $x=-4$.
Подставим эти значения в первое уравнение. В обоих случаях ($x=4$ и $x=-4$) получаем:
$ (\pm 4)^2 + y^2 = a^2 $
$ 16 + y^2 = a^2 $
$ y^2 = a^2 - 16 $
Количество действительных решений для $y$ зависит от знака выражения $a^2-16$:

• Если $a^2 - 16 < 0$, то есть $a^2 < 16$, что эквивалентно $|a| < 4$ (или $-4 < a < 4$), уравнение для $y$ не имеет действительных корней. Система не имеет решений.
• Если $a^2 - 16 = 0$, то есть $a^2 = 16$, что эквивалентно $|a| = 4$ (или $a=4, a=-4$), уравнение $y^2=0$ имеет один корень $y=0$. Так как у нас есть два значения для $x$ ($4$ и $-4$), система имеет два решения: $(4, 0)$ и $(-4, 0)$.
• Если $a^2 - 16 > 0$, то есть $a^2 > 16$, что эквивалентно $|a| > 4$ (или $a < -4$ или $a > 4$), уравнение $y^2 = a^2 - 16$ имеет два корня: $y = \pm\sqrt{a^2 - 16}$. Так как у нас есть два значения для $x$ ($4$ и $-4$), то всего система имеет $2 \times 2 = 4$ решения: $(4, \sqrt{a^2-16})$, $(4, -\sqrt{a^2-16})$, $(-4, \sqrt{a^2-16})$ и $(-4, -\sqrt{a^2-16})$.

Ответ: если $|a| < 4$ — нет решений; если $|a| = 4$ — два решения; если $|a| > 4$ — четыре решения.

3)
Рассмотрим систему уравнений:
$ \begin{cases} y - x = 1 \\ xy = a \end{cases} $
Из первого уравнения выразим $y$: $y = x+1$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$ x(x+1) = a $
$ x^2 + x - a = 0 $
Это квадратное уравнение относительно $x$. Количество решений системы совпадает с количеством корней этого уравнения, так как каждому значению $x$ однозначно соответствует значение $y=x+1$.
Найдем дискриминант $D$ этого уравнения:
$ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-a) = 1 + 4a $
Количество корней зависит от знака дискриминанта:

• Если $D < 0$, то есть $1+4a < 0 \implies a < -1/4$, уравнение не имеет действительных корней. Система не имеет решений.
• Если $D = 0$, то есть $1+4a = 0 \implies a = -1/4$, уравнение имеет один действительный корень. Система имеет одно решение.
• Если $D > 0$, то есть $1+4a > 0 \implies a > -1/4$, уравнение имеет два различных действительных корня. Система имеет два решения.

Ответ: если $a < -1/4$ — нет решений; если $a = -1/4$ — одно решение; если $a > -1/4$ — два решения.

4)
Рассмотрим систему уравнений:
$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 4 \\ y = x^2 + a \end{cases} $
Решим задачу графически. Первое уравнение $x^2+y^2=4$ задает окружность с центром в точке $(0,0)$ и радиусом $R=2$. Второе уравнение $y=x^2+a$ задает параболу с ветвями, направленными вверх, и вершиной в точке $(0,a)$. Количество решений системы равно количеству точек пересечения окружности и параболы.
Проанализируем количество точек пересечения в зависимости от параметра $a$, который определяет вертикальное положение параболы:

1. Если $a > 2$, вершина параболы $(0,a)$ находится выше самой верхней точки окружности $(0,2)$. Пересечений нет.
2. Если $a = 2$, вершина параболы $(0,2)$ совпадает с верхней точкой окружности. Это точка касания. Имеется одна точка пересечения.
3. Если $-2 < a < 2$, вершина параболы находится внутри окружности, и парабола пересекает окружность в двух точках.
4. Если $a = -2$, вершина параболы $(0,-2)$ совпадает с нижней точкой окружности. Парабола $y=x^2-2$ пересекает окружность $x^2+y^2=4$ в трех точках: в вершине $(0,-2)$ и в двух симметричных точках $(\sqrt{3}, 1)$ и $(-\sqrt{3}, 1)$.
5. Если $-17/4 < a < -2$, парабола пересекает окружность в четырех точках.
6. Если $a = -17/4$, парабола касается окружности в двух симметричных точках $(\pm\sqrt{15}/2, -1/2)$. Имеется две точки пересечения.
7. Если $a < -17/4$, парабола целиком проходит под окружностью, не пересекая ее. Решений нет.

Соберем все случаи вместе:

• При $a < -17/4$ или $a > 2$: нет решений.
• При $a = 2$: одно решение.
• При $a = -17/4$ или $-2 < a < 2$: два решения.
• При $a = -2$: три решения.
• При $-17/4 < a < -2$: четыре решения.

Ответ: если $a < -17/4$ или $a > 2$ — нет решений; если $a = 2$ — одно решение; если $a = -17/4$ или $-2 < a < 2$ — два решения; если $a = -2$ — три решения; если $-17/4 < a < -2$ — четыре решения.

473. Сколько решений в зависимости от значения a имеет система уравнений:

1) $ \begin{cases} x^2 + y^2 = a, \\ |y| = 1; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 9, \\ y = a - |x|; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} x^2 + y^2 = a^2, \\ xy = 4? \end{cases} $

1) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = a \\ |y| = 1 \end{cases} $

Из второго уравнения следует, что $y = 1$ или $y = -1$. В обоих случаях $y^2 = 1$.
Подставим значение $y^2 = 1$ в первое уравнение системы: $x^2 + 1 = a$ $x^2 = a - 1$

Теперь проанализируем количество решений этого уравнения для $x$ в зависимости от значения $a-1$:

• Если $a - 1 > 0$, то есть $a > 1$, уравнение $x^2 = a - 1$ имеет два различных корня: $x_1 = \sqrt{a-1}$ и $x_2 = -\sqrt{a-1}$. Так как для каждого из этих значений $x$ существуют два значения $y$ ($y=1$ и $y=-1$), система будет иметь 4 решения: $(\sqrt{a-1}, 1)$, $(-\sqrt{a-1}, 1)$, $(\sqrt{a-1}, -1)$, $(-\sqrt{a-1}, -1)$.
• Если $a - 1 = 0$, то есть $a = 1$, уравнение $x^2 = 0$ имеет один корень: $x = 0$. В этом случае система имеет 2 решения: $(0, 1)$ и $(0, -1)$.
• Если $a - 1 < 0$, то есть $a < 1$, уравнение $x^2 = a - 1$ не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным. Следовательно, система не имеет решений.

Ответ:

• при $a < 1$ решений нет;
• при $a = 1$ — 2 решения;
• при $a > 1$ — 4 решения.

2) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 9 \\ y = a - |x| \end{cases} $

Решим эту задачу графически и аналитически. Первое уравнение $x^2 + y^2 = 9$ — это окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R=3$. Второе уравнение $y = a - |x|$ — это график функции $y = -|x|$ (уголок с вершиной в $(0,0)$, ветви которого направлены вниз), смещенный на $a$ единиц вверх по оси $Oy$. Вершина уголка находится в точке $(0, a)$. Количество решений системы равно количеству точек пересечения окружности и уголка.

Подставим второе уравнение в первое: $x^2 + (a - |x|)^2 = 9$ Так как $x^2 = |x|^2$, сделаем замену $t = |x|$, где $t \ge 0$. $t^2 + (a - t)^2 = 9$ $t^2 + a^2 - 2at + t^2 = 9$ $2t^2 - 2at + (a^2 - 9) = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно $t$. Количество решений исходной системы зависит от количества положительных корней этого уравнения.

• Если $t=0$, то $|x|=0$, что дает одно значение $x=0$.
• Если $t>0$, то $|x|=t$, что дает два значения $x = \pm t$.

Найдем дискриминант $D$: $D = (-2a)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (a^2 - 9) = 4a^2 - 8a^2 + 72 = 72 - 4a^2 = 4(18 - a^2)$.

Рассмотрим различные случаи в зависимости от $a$:

1. $D < 0 \implies 18 - a^2 < 0 \implies a^2 > 18 \implies a > 3\sqrt{2}$ или $a < -3\sqrt{2}$. Квадратное уравнение не имеет действительных корней $t$, система не имеет решений.
2. $D = 0 \implies a^2 = 18 \implies a = \pm 3\sqrt{2}$. Уравнение имеет один корень $t = \frac{2a}{4} = \frac{a}{2}$.
   • При $a = 3\sqrt{2}$, корень $t = \frac{3\sqrt{2}}{2} > 0$. Так как $t>0$, получаем два решения для $x$: $x = \pm \frac{3\sqrt{2}}{2}$. Система имеет 2 решения. Это случай касания уголка и окружности.
   • При $a = -3\sqrt{2}$, корень $t = -\frac{3\sqrt{2}}{2} < 0$. Так как $t$ не может быть отрицательным, действительных решений для $x$ нет. Система не имеет решений.
3. $D > 0 \implies a^2 < 18 \implies -3\sqrt{2} < a < 3\sqrt{2}$. Уравнение имеет два различных действительных корня $t_1, t_2$. Проанализируем их знаки, используя теорему Виета: $t_1 + t_2 = a$ и $t_1 t_2 = \frac{a^2 - 9}{2}$.
   • Если $a=3$: уравнение становится $2t^2 - 6t = 0 \implies 2t(t-3)=0$. Корни $t_1=0$ и $t_2=3$. $t_1=0 \implies x=0$ (1 решение). $t_2=3 \implies x=\pm 3$ (2 решения). Всего 3 решения. Это случай, когда вершина уголка лежит на окружности.
   • Если $a=-3$: уравнение становится $2t^2 + 6t = 0 \implies 2t(t+3)=0$. Корни $t_1=0$ и $t_2=-3$. $t_1=0 \implies x=0$ (1 решение). $t_2=-3$ не подходит, т.к. $t \ge 0$. Всего 1 решение. Вершина уголка в нижней точке окружности.
   • Если $3 < a < 3\sqrt{2}$: $t_1+t_2 = a > 0$ и $t_1 t_2 = \frac{a^2-9}{2} > 0$. Оба корня $t_1, t_2$ положительны. Каждый из них дает по два значения $x$. Всего 4 решения.
   • Если $-3 < a < 3$: $t_1 t_2 = \frac{a^2-9}{2} < 0$. Один корень положительный, другой отрицательный. Только положительный корень дает решения для $x$ (два значения). Всего 2 решения.
   • Если $-3\sqrt{2} < a < -3$: $t_1+t_2 = a < 0$ и $t_1 t_2 = \frac{a^2-9}{2} > 0$. Оба корня отрицательны. Решений для $x$ нет. Система не имеет решений.

Ответ:

• при $a < -3$ или $a > 3\sqrt{2}$ решений нет;
• при $a = -3$ — 1 решение;
• при $-3 < a < 3$ — 2 решения;
• при $a = 3$ — 3 решения;
• при $3 < a < 3\sqrt{2}$ — 4 решения;
• при $a = 3\sqrt{2}$ — 2 решения.

3) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x^2 + y^2 = a^2 \\ xy = 4 \end{cases} $

Первое уравнение $x^2 + y^2 = a^2$ — это окружность с центром в начале координат и радиусом $R = |a|$. Второе уравнение $xy=4$ — это гипербола с ветвями в I и III координатных четвертях.

Найдем кратчайшее расстояние от начала координат до точек гиперболы. Это расстояние до вершин гиперболы, которые лежат на прямой $y=x$. Подставив $y=x$ в $xy=4$, получаем $x^2=4$, откуда $x=\pm 2$. Вершины гиперболы — точки $(2, 2)$ и $(-2, -2)$. Расстояние от начала координат до этих точек одинаково и равно $d = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

Количество решений системы — это количество точек пересечения окружности и гиперболы. Оно зависит от соотношения радиуса окружности $R=|a|$ и расстояния $d=2\sqrt{2}$.

• Если радиус окружности меньше расстояния до вершин, $R < d$, то есть $|a| < 2\sqrt{2}$, пересечений нет.
• Если радиус равен расстоянию, $R = d$, то есть $|a| = 2\sqrt{2}$, окружность касается гиперболы в двух вершинах. 2 точки пересечения.
• Если радиус больше расстояния, $R > d$, то есть $|a| > 2\sqrt{2}$, окружность пересекает каждую из двух ветвей гиперболы в двух точках. Всего 4 точки пересечения.

Проверим аналитически. Из второго уравнения $y = 4/x$. Подставим в первое: $x^2 + (\frac{4}{x})^2 = a^2$ $x^2 + \frac{16}{x^2} = a^2$ $x^4 - a^2x^2 + 16 = 0$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $t = x^2$, где $t > 0$. $t^2 - a^2t + 16 = 0$. Дискриминант $D = (-a^2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = a^4 - 64$.

• Если $D < 0 \implies a^4 < 64 \implies a^2 < 8 \implies |a| < 2\sqrt{2}$. Уравнение для $t$ не имеет решений, значит, и система не имеет решений.
• Если $D = 0 \implies a^4 = 64 \implies |a| = 2\sqrt{2}$. Уравнение имеет один корень $t = \frac{a^2}{2} = \frac{8}{2} = 4$. Так как $t=x^2=4$, то $x = \pm 2$. Это дает 2 решения для системы: $(2, 2)$ и $(-2, -2)$.
• Если $D > 0 \implies a^4 > 64 \implies |a| > 2\sqrt{2}$. Уравнение для $t$ имеет два корня. По теореме Виета, их сумма $t_1+t_2=a^2 > 0$ и произведение $t_1 t_2 = 16 > 0$. Значит, оба корня $t_1, t_2$ положительны. Каждый из них ($x^2=t_1$ и $x^2=t_2$) дает по два значения $x$. Всего 4 решения для системы.

Ответ:

• при $|a| < 2\sqrt{2}$ (то есть $-2\sqrt{2} < a < 2\sqrt{2}$) решений нет;
• при $|a| = 2\sqrt{2}$ (то есть $a = \pm 2\sqrt{2}$) — 2 решения;
• при $|a| > 2\sqrt{2}$ (то есть $a < -2\sqrt{2}$ или $a > 2\sqrt{2}$) — 4 решения.

474. Докажите, что значение выражения $25^{10} - 5^{17}$ кратно числу 31.

Чтобы доказать, что значение выражения $25^{10} - 5^{17}$ кратно числу 31, необходимо преобразовать данное выражение.

1. Представим число 25 как степень числа 5, поскольку $25 = 5^2$. Подставим это в исходное выражение: $25^{10} - 5^{17} = (5^2)^{10} - 5^{17}$

2. Воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{mn}$, чтобы упростить первое слагаемое: $(5^2)^{10} = 5^{2 \cdot 10} = 5^{20}$

3. Теперь выражение имеет вид: $5^{20} - 5^{17}$

4. Вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени, то есть $5^{17}$: $5^{17}(5^{20-17} - 1) = 5^{17}(5^3 - 1)$

5. Вычислим значение выражения в скобках: $5^3 - 1 = 125 - 1 = 124$

6. Таким образом, исходное выражение равно произведению: $5^{17} \cdot 124$

7. Чтобы доказать, что это произведение кратно 31, проверим, делится ли один из множителей на 31. Очевидно, что $5^{17}$ не делится на 31, так как 5 и 31 — простые числа. Проверим, делится ли на 31 число 124: $124 \div 31 = 4$

8. Поскольку $124 = 4 \cdot 31$, мы можем переписать наше выражение следующим образом: $5^{17} \cdot 124 = 5^{17} \cdot (4 \cdot 31) = 31 \cdot (4 \cdot 5^{17})$

Выражение представлено в виде произведения числа 31 и целого числа $(4 \cdot 5^{17})$, следовательно, оно кратно 31. Что и требовалось доказать.

Ответ: Поскольку выражение $25^{10} - 5^{17}$ можно представить в виде $31 \cdot (4 \cdot 5^{17})$, его значение кратно 31.

475. Упростите выражение:

$\frac{5a + 5}{a^2 - a} : \left( \frac{a + 3}{a^2 - 1} - \frac{1}{a^2 + a} \right).$

Чтобы упростить данное выражение, необходимо выполнить действия в определенном порядке: сначала вычитание в скобках, затем деление. Будем выполнять действия по шагам.

Исходное выражение:

$ \frac{5a + 5}{a^2 - a} : \left( \frac{a+3}{a^2 - 1} - \frac{1}{a^2 + a} \right) $

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю:

• $a^2 - a = a(a-1) \neq 0 \Rightarrow a \neq 0, a \neq 1$
• $a^2 - 1 = (a-1)(a+1) \neq 0 \Rightarrow a \neq 1, a \neq -1$
• $a^2 + a = a(a+1) \neq 0 \Rightarrow a \neq 0, a \neq -1$

Также выражение, на которое мы делим, не должно быть равно нулю. Это мы учтем позже.

1. Упрощение выражения в скобках

Выполним вычитание дробей $ \frac{a+3}{a^2 - 1} - \frac{1}{a^2 + a} $. Для этого приведем их к общему знаменателю.

Разложим знаменатели на множители:

$ a^2 - 1 = (a-1)(a+1) $

$ a^2 + a = a(a+1) $

Наименьший общий знаменатель (НОЗ) равен $ a(a-1)(a+1) $.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$ \frac{a+3}{(a-1)(a+1)} - \frac{1}{a(a+1)} = \frac{a(a+3)}{a(a-1)(a+1)} - \frac{1 \cdot (a-1)}{a(a-1)(a+1)} $

Выполним вычитание числителей:

$ \frac{a(a+3) - (a-1)}{a(a-1)(a+1)} = \frac{a^2 + 3a - a + 1}{a(a-1)(a+1)} = \frac{a^2 + 2a + 1}{a(a-1)(a+1)} $

Заметим, что числитель $ a^2 + 2a + 1 $ является полным квадратом: $ (a+1)^2 $.

Подставим и сократим дробь:

$ \frac{(a+1)^2}{a(a-1)(a+1)} = \frac{a+1}{a(a-1)} $

2. Выполнение деления

Теперь исходное выражение можно записать так:

$ \frac{5a + 5}{a^2 - a} : \frac{a+1}{a(a-1)} $

Разложим на множители числитель и знаменатель первой дроби:

$ \frac{5(a+1)}{a(a-1)} : \frac{a+1}{a(a-1)} $

Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на дробь, обратную ей:

$ \frac{5(a+1)}{a(a-1)} \cdot \frac{a(a-1)}{a+1} $

Теперь сократим общие множители $ (a+1) $ и $ a(a-1) $ в числителе и знаменателе:

$ \frac{5 \cdot (a+1) \cdot a(a-1)}{a(a-1) \cdot (a+1)} = 5 $

Выражение, на которое мы делили, $ \frac{a+1}{a(a-1)} $, не должно быть равно нулю, что означает $ a+1 \neq 0 $, то есть $ a \neq -1 $. Это условие уже учтено в ОДЗ.

Таким образом, при $ a \neq 0 $, $ a \neq 1 $ и $ a \neq -1 $ значение выражения равно 5.

Ответ: 5

476. Решите систему неравенств:

$\begin{cases} 2(x - 3) \geq -3(x + 2), \\ \frac{7x}{3} \leq 1 - \frac{x}{2}. \end{cases}$

Для решения системы неравенств необходимо решить каждое неравенство по отдельности и найти пересечение полученных множеств решений.

1. Решим первое неравенство: $2(x - 3) \ge -3(x + 2)$

Сначала раскроем скобки в обеих частях неравенства:

$2 \cdot x - 2 \cdot 3 \ge -3 \cdot x - 3 \cdot 2$

$2x - 6 \ge -3x - 6$

Теперь перенесем все слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую, меняя их знаки на противоположные при переносе:

$2x + 3x \ge -6 + 6$

Приведем подобные слагаемые в каждой части:

$5x \ge 0$

Разделим обе части неравенства на 5. Так как 5 — положительное число, знак неравенства не меняется:

$x \ge 0$

Решением первого неравенства является числовой промежуток $[0; +\infty)$.

2. Решим второе неравенство: $\frac{7x}{3} \le 1 - \frac{x}{2}$

Для удобства избавимся от знаменателей. Для этого умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 2, то есть на 6. Так как 6 — положительное число, знак неравенства не меняется:

$6 \cdot \frac{7x}{3} \le 6 \cdot (1 - \frac{x}{2})$

$\frac{42x}{3} \le 6 \cdot 1 - 6 \cdot \frac{x}{2}$

$14x \le 6 - 3x$

Перенесем слагаемое с переменной $x$ в левую часть:

$14x + 3x \le 6$

Приведем подобные слагаемые:

$17x \le 6$

Разделим обе части на 17 (положительное число, знак неравенства сохраняется):

$x \le \frac{6}{17}$

Решением второго неравенства является числовой промежуток $(-\infty; \frac{6}{17}]$.

3. Найдем решение системы

Решение системы — это пересечение решений обоих неравенств. Нам нужно найти значения $x$, которые удовлетворяют одновременно двум условиям: $x \ge 0$ и $x \le \frac{6}{17}$.

Пересечением промежутков $[0; +\infty)$ и $(-\infty; \frac{6}{17}]$ является отрезок $[0; \frac{6}{17}]$.

Таким образом, решение системы неравенств можно записать в виде двойного неравенства: $0 \le x \le \frac{6}{17}$.

Ответ: $[0; \frac{6}{17}]$