Страница 131 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

477. Известно, что $x_1$ и $x_2$ – корни уравнения $x^2 + 6x - 2 = 0$. Найдите значение выражения $x_1^2 + x_2^2$.

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Виета для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$. Согласно этой теореме, если $x_1$ и $x_2$ являются корнями уравнения, то их сумма и произведение связаны с коэффициентами уравнения следующими соотношениями:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

В нашем уравнении $x^2 + 6x - 2 = 0$ коэффициенты равны: $a = 1$, $b = 6$, $c = -2$.

Подставим эти значения в формулы Виета:
$x_1 + x_2 = -\frac{6}{1} = -6$
$x_1 \cdot x_2 = \frac{-2}{1} = -2$

Нам необходимо найти значение выражения $x_1^2 + x_2^2$. Для этого преобразуем данное выражение, выделив полный квадрат суммы. Мы знаем тождество: $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$.

Из этого тождества выразим искомую сумму квадратов:
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

Теперь подставим в полученную формулу найденные ранее значения суммы и произведения корней:
$x_1^2 + x_2^2 = (-6)^2 - 2 \cdot (-2)$

Произведем вычисления:
$x_1^2 + x_2^2 = 36 - (-4) = 36 + 4 = 40$

Ответ: 40

478. Сократите дроби:

1) $\frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$;

2) $\frac{7\sqrt{3}-21}{14\sqrt{3}}$;

3) $\frac{x\sqrt{x}-y\sqrt{y}}{x-y}$.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{2 + \sqrt{2}}{\sqrt{2}}$, представим число 2 в числителе как произведение корней, то есть $2 = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}$.

$\frac{2 + \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 1}{\sqrt{2}}$

Теперь вынесем общий множитель $\sqrt{2}$ за скобки в числителе:

$\frac{\sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)}{\sqrt{2}}$

Сократим дробь на общий множитель $\sqrt{2}$ в числителе и знаменателе:

$\sqrt{2} + 1$

Ответ: $\sqrt{2} + 1$

2) Рассмотрим дробь $\frac{7\sqrt{3} - 21}{14\sqrt{3}}$.

Для упрощения выражения в числителе $7\sqrt{3} - 21$ представим 21 как $7 \cdot 3$. А число 3, в свою очередь, как $(\sqrt{3})^2$.

$7\sqrt{3} - 21 = 7\sqrt{3} - 7 \cdot 3 = 7\sqrt{3} - 7 \cdot (\sqrt{3})^2$

Вынесем общий множитель $7\sqrt{3}$ за скобки:

$7\sqrt{3}(1 - \sqrt{3})$

Теперь подставим это выражение обратно в дробь:

$\frac{7\sqrt{3}(1 - \sqrt{3})}{14\sqrt{3}}$

Сократим дробь на общий множитель $7\sqrt{3}$. Учитывая, что $14\sqrt{3} = 2 \cdot 7\sqrt{3}$, получаем:

$\frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

3) Для сокращения дроби $\frac{x\sqrt{x} - y\sqrt{y}}{x - y}$ воспользуемся формулами сокращенного умножения. Область допустимых значений: $x \ge 0$, $y \ge 0$, $x \neq y$.

Представим числитель и знаменатель в виде выражений с одинаковыми основаниями. Заметим, что $x\sqrt{x} = (\sqrt{x})^2 \cdot \sqrt{x} = (\sqrt{x})^3$ и $y\sqrt{y} = (\sqrt{y})^3$. Также $x = (\sqrt{x})^2$ и $y = (\sqrt{y})^2$.

Тогда дробь можно переписать в виде:

$\frac{(\sqrt{x})^3 - (\sqrt{y})^3}{(\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2}$

Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ для числителя и формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для знаменателя. В нашем случае $a = \sqrt{x}$ и $b = \sqrt{y}$.

$\frac{(\sqrt{x} - \sqrt{y})((\sqrt{x})^2 + \sqrt{x}\sqrt{y} + (\sqrt{y})^2)}{(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})} = \frac{(\sqrt{x} - \sqrt{y})(x + \sqrt{xy} + y)}{(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})}$

Поскольку $x \neq y$, то $\sqrt{x} \neq \sqrt{y}$, и множитель $(\sqrt{x} - \sqrt{y})$ не равен нулю. Следовательно, мы можем сократить на него дробь:

$\frac{x + \sqrt{xy} + y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}$

Ответ: $\frac{x + \sqrt{xy} + y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}$

479. (Из старинного китайского трактата «Девять отделов искусства счёта».) 5 волов и 2 барана стоят 11 таэлей, а 2 вола и 8 баранов – 8 таэлей. Сколько стоят отдельно вол и баран?

Для решения этой задачи введем переменные и составим систему уравнений. Пусть $x$ — это стоимость одного вола в таэлях, а $y$ — стоимость одного барана в таэлях.

На основе условий задачи можно составить два уравнения:

• 5 волов и 2 барана стоят 11 таэлей: $5x + 2y = 11$
• 2 вола и 8 баранов стоят 8 таэлей: $2x + 8y = 8$

Мы получили систему линейных уравнений:

$ \begin{cases} 5x + 2y = 11 \\ 2x + 8y = 8 \end{cases} $

Заметим, что второе уравнение можно упростить, разделив все его члены на 2:

$\frac{2x}{2} + \frac{8y}{2} = \frac{8}{2}$

$x + 4y = 4$

Теперь решим систему методом подстановки. Из упрощенного второго уравнения выразим $x$:

$x = 4 - 4y$

Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение системы:

$5(4 - 4y) + 2y = 11$

Далее решаем полученное уравнение относительно $y$:

$20 - 20y + 2y = 11$

$20 - 18y = 11$

$18y = 20 - 11$

$18y = 9$

$y = \frac{9}{18} = 0.5$

Таким образом, стоимость одного барана составляет 0,5 таэля.

Теперь, зная стоимость барана, найдем стоимость вола. Подставим значение $y$ в выражение для $x$:

$x = 4 - 4(0.5) = 4 - 2 = 2$

Следовательно, стоимость одного вола составляет 2 таэля.

Для проверки подставим найденные значения в исходные условия:

1) $5 \cdot 2 + 2 \cdot 0.5 = 10 + 1 = 11$ (верно)

2) $2 \cdot 2 + 8 \cdot 0.5 = 4 + 4 = 8$ (верно)

Ответ: один вол стоит 2 таэля, а один баран стоит 0,5 таэля.

480. (Задача Леонардо Пизанского (Фибоначчи).) Один говорит другому: «Дай мне 7 динариев, и я буду в 5 раз богаче тебя». А другой говорит: «Дай мне 5 динариев, и я буду в 7 раз богаче тебя». Сколько денег у каждого?

Для решения задачи введем переменные. Пусть у первого человека было $x$ динариев, а у второго — $y$ динариев.

Согласно первому условию, если второй человек даст первому 7 динариев, у первого станет $x+7$ динариев, а у второго останется $y-7$ динариев. При этом сумма у первого будет в 5 раз больше, чем у второго. Составим первое уравнение:
$x + 7 = 5(y - 7)$

Согласно второму условию, если первый человек даст второму 5 динариев, у первого станет $x-5$ динариев, а у второго — $y+5$ динариев. При этом сумма у второго будет в 7 раз больше, чем у первого. Составим второе уравнение:
$y + 5 = 7(x - 5)$

В результате мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
$\begin{cases}x + 7 = 5(y - 7) \\y + 5 = 7(x - 5)\end{cases}$
Упростим каждое уравнение, раскрыв скобки:
1) $x + 7 = 5y - 35 \implies x - 5y = -42$
2) $y + 5 = 7x - 35 \implies -7x + y = -40$
Теперь система выглядит так:
$\begin{cases}x - 5y = -42 \\-7x + y = -40\end{cases}$

Решим эту систему методом подстановки. Выразим $y$ из второго уравнения:
$y = 7x - 40$
Подставим полученное выражение для $y$ в первое уравнение:
$x - 5(7x - 40) = -42$
$x - 35x + 200 = -42$
$-34x = -42 - 200$
$-34x = -242$
$x = \frac{-242}{-34} = \frac{121}{17}$
Для удобства представим неправильную дробь в виде смешанного числа:
$x = 7 \frac{2}{17}$

Теперь, зная значение $x$, найдем $y$, подставив его в выражение $y = 7x - 40$:
$y = 7 \cdot \frac{121}{17} - 40$
$y = \frac{847}{17} - \frac{40 \cdot 17}{17} = \frac{847 - 680}{17}$
$y = \frac{167}{17}$
Представим в виде смешанного числа:
$y = 9 \frac{14}{17}$

Таким образом, у первого человека было $7 \frac{2}{17}$ динария, а у второго — $9 \frac{14}{17}$ динария.

Ответ: у первого человека было $7 \frac{2}{17}$ динария, у второго — $9 \frac{14}{17}$ динария.

481. Из села $A$ в село $B$, расстояние между которыми равно 140 км, выехал мотоциклист. За 20 мин до этого навстречу ему из $B$ в $A$ выехал велосипедист, который встретился с мотоциклистом через 2 ч после своего выезда. Найдите скорость каждого из них, если мотоциклист за 2 ч проезжает на 104 км больше, чем велосипедист за 4 ч.

1. Введение переменных и составление первого уравнения.

Пусть $v_м$ (км/ч) — скорость мотоциклиста, а $v_в$ (км/ч) — скорость велосипедиста. Из условия известно, что мотоциклист за 2 часа проезжает на 104 км больше, чем велосипедист за 4 часа. Расстояние, которое проезжает мотоциклист за 2 часа, равно $2 \cdot v_м$. Расстояние, которое проезжает велосипедист за 4 часа, равно $4 \cdot v_в$. Составим первое уравнение на основе этой информации: $2v_м = 4v_в + 104$ Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения: $v_м = 2v_в + 52$

2. Составление второго уравнения.

Общее расстояние между селами А и В составляет 140 км. Велосипедист выехал из В в А. Через 20 минут после него из А в В выехал мотоциклист. Они встретились через 2 часа после выезда велосипедиста. Таким образом, время в пути велосипедиста до встречи составляет $t_в = 2$ часа. Время в пути мотоциклиста до встречи составляет на 20 минут меньше. Переведем 20 минут в часы: $20 \text{ мин} = \frac{20}{60} \text{ ч} = \frac{1}{3} \text{ ч}$. Время в пути мотоциклиста: $t_м = 2 - \frac{1}{3} = \frac{6}{3} - \frac{1}{3} = \frac{5}{3}$ часа. За это время велосипедист проехал расстояние $S_в = v_в \cdot t_в = 2v_в$ км. Мотоциклист за свое время проехал расстояние $S_м = v_м \cdot t_м = \frac{5}{3}v_м$ км. Так как они двигались навстречу друг другу, суммарное расстояние, которое они проехали до встречи, равно расстоянию между селами. Составим второе уравнение: $S_м + S_в = 140$ $\frac{5}{3}v_м + 2v_в = 140$

3. Решение системы уравнений.

Мы получили систему из двух уравнений: $ \begin{cases} v_м = 2v_в + 52 \\ \frac{5}{3}v_м + 2v_в = 140 \end{cases} $ Подставим выражение для $v_м$ из первого уравнения во второе: $\frac{5}{3}(2v_в + 52) + 2v_в = 140$ Раскроем скобки: $\frac{10}{3}v_в + \frac{260}{3} + 2v_в = 140$ Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части уравнения на 3: $3 \cdot (\frac{10}{3}v_в + \frac{260}{3} + 2v_в) = 3 \cdot 140$ $10v_в + 260 + 6v_в = 420$ Приведем подобные слагаемые: $16v_в = 420 - 260$ $16v_в = 160$ $v_в = \frac{160}{16} = 10$ Скорость велосипедиста равна 10 км/ч. Теперь найдем скорость мотоциклиста, подставив значение $v_в$ в первое уравнение: $v_м = 2v_в + 52 = 2 \cdot 10 + 52 = 20 + 52 = 72$ Скорость мотоциклиста равна 72 км/ч.

Ответ: скорость мотоциклиста — 72 км/ч, скорость велосипедиста — 10 км/ч.

482. Существуют ли 100 таких натуральных чисел, что любая сумма нескольких из них не является квадратом натурального числа?

Да, такие 100 натуральных чисел существуют. Мы можем доказать это, предъявив конструктивный способ их построения, основанный на свойствах квадратичных вычетов в теории чисел.

Идея состоит в том, чтобы выбрать все 100 чисел из одного класса вычетов по некоторому модулю так, чтобы любая их сумма попадала в другой класс вычетов, в котором нет ни одного полного квадрата.

Построение и доказательство:

1. Выбор модуля. Нам понадобится специальное простое число $p$. Мы хотим, чтобы для этого числа $p$ все целые числа от 1 до 100 были квадратичными вычетами. То есть, чтобы для любого $k \in \{1, 2, \ldots, 100\}$ сравнение $x^2 \equiv k \pmod p$ имело решение. В терминах символа Лежандра это означает, что $(\frac{k}{p}) = 1$ для всех $k \in \{1, 2, \ldots, 100\}$.

Чтобы такое число $p$ существовало, нам нужно, чтобы $(\frac{q}{p}) = 1$ для всех простых чисел $q \le 100$ (т.е., $q \in \{2, 3, 5, \ldots, 97\}$). Используя свойства символа Лежандра и закон квадратичной взаимности, для каждого такого $q$ условие $(\frac{q}{p}) = 1$ сводится к набору сравнений для $p$ по модулю $4q$. По Китайской теореме об остатках, эта система сравнений имеет решение. Более того, по теореме Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии, в этой прогрессии существует бесконечно много простых чисел. Следовательно, такое простое число $p$ существует. (Находить его явно не требуется, достаточно доказать его существование).

2. Выбор класса вычетов. Поскольку $p$ — простое число (можно считать, что $p > 2$), в поле вычетов по модулю $p$ существуют как квадратичные вычеты, так и квадратичные невычеты. Выберем любой квадратичный невычет $r$ по модулю $p$. Это значит, что $(\frac{r}{p}) = -1$.

3. Построение чисел. Теперь построим нашу последовательность из 100 натуральных чисел $a_1, a_2, \ldots, a_{100}$ так, чтобы все они были сравнимы с $r$ по модулю $p$:$a_i \equiv r \pmod p$ для всех $i = 1, 2, \ldots, 100$.Например, можно взять числа $a_i = r + (i-1)p$. Поскольку $r$ — натуральное число от 1 до $p-1$, все эти числа будут натуральными.

4. Проверка свойства. Возьмем любую сумму нескольких (скажем, $k$ штук) чисел из этого набора, где $1 \le k \le 100$. Обозначим эту сумму через $S$:$S = a_{i_1} + a_{i_2} + \ldots + a_{i_k}$

Рассмотрим эту сумму по модулю $p$:$S \equiv \underbrace{r + r + \ldots + r}_{k \text{ раз}} \pmod p$$S \equiv kr \pmod p$

Теперь определим, является ли $S$ квадратичным вычетом по модулю $p$. Для этого вычислим символ Лежандра $(\frac{S}{p})$:$(\frac{S}{p}) = (\frac{kr}{p})$

Используя свойство мультипликативности символа Лежандра, получаем:$(\frac{kr}{p}) = (\frac{k}{p}) (\frac{r}{p})$

По нашему выбору простого числа $p$ (шаг 1), для любого $k$ от 1 до 100, $k$ является квадратичным вычетом, то есть $(\frac{k}{p}) = 1$.По нашему выбору числа $r$ (шаг 2), $r$ является квадратичным невычетом, то есть $(\frac{r}{p}) = -1$.

Подставляем эти значения:$(\frac{S}{p}) = 1 \cdot (-1) = -1$

Это означает, что любая сумма $S$ является квадратичным невычетом по модулю $p$. Но если бы $S$ была полным квадратом, то есть $S = m^2$ для некоторого натурального $m$, то $S$ была бы квадратичным вычетом по модулю $p$ (или 0, если $p|m$, но мы можем выбрать $p$ достаточно большим, чтобы этого избежать). Так как $S$ является квадратичным невычетом, она не может быть полным квадратом.

Таким образом, мы доказали, что существует набор из 100 натуральных чисел, любая сумма которых не является квадратом натурального числа.

Ответ: Да, существуют.