Номер 478, страница 131 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

478. Сократите дроби:

1) $\frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$;

2) $\frac{7\sqrt{3}-21}{14\sqrt{3}}$;

3) $\frac{x\sqrt{x}-y\sqrt{y}}{x-y}$.

1) Чтобы сократить дробь $\frac{2 + \sqrt{2}}{\sqrt{2}}$, представим число 2 в числителе как произведение корней, то есть $2 = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2}$.

$\frac{2 + \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 1}{\sqrt{2}}$

Теперь вынесем общий множитель $\sqrt{2}$ за скобки в числителе:

$\frac{\sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)}{\sqrt{2}}$

Сократим дробь на общий множитель $\sqrt{2}$ в числителе и знаменателе:

$\sqrt{2} + 1$

Ответ: $\sqrt{2} + 1$

2) Рассмотрим дробь $\frac{7\sqrt{3} - 21}{14\sqrt{3}}$.

Для упрощения выражения в числителе $7\sqrt{3} - 21$ представим 21 как $7 \cdot 3$. А число 3, в свою очередь, как $(\sqrt{3})^2$.

$7\sqrt{3} - 21 = 7\sqrt{3} - 7 \cdot 3 = 7\sqrt{3} - 7 \cdot (\sqrt{3})^2$

Вынесем общий множитель $7\sqrt{3}$ за скобки:

$7\sqrt{3}(1 - \sqrt{3})$

Теперь подставим это выражение обратно в дробь:

$\frac{7\sqrt{3}(1 - \sqrt{3})}{14\sqrt{3}}$

Сократим дробь на общий множитель $7\sqrt{3}$. Учитывая, что $14\sqrt{3} = 2 \cdot 7\sqrt{3}$, получаем:

$\frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

3) Для сокращения дроби $\frac{x\sqrt{x} - y\sqrt{y}}{x - y}$ воспользуемся формулами сокращенного умножения. Область допустимых значений: $x \ge 0$, $y \ge 0$, $x \neq y$.

Представим числитель и знаменатель в виде выражений с одинаковыми основаниями. Заметим, что $x\sqrt{x} = (\sqrt{x})^2 \cdot \sqrt{x} = (\sqrt{x})^3$ и $y\sqrt{y} = (\sqrt{y})^3$. Также $x = (\sqrt{x})^2$ и $y = (\sqrt{y})^2$.

Тогда дробь можно переписать в виде:

$\frac{(\sqrt{x})^3 - (\sqrt{y})^3}{(\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2}$

Применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ для числителя и формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для знаменателя. В нашем случае $a = \sqrt{x}$ и $b = \sqrt{y}$.

$\frac{(\sqrt{x} - \sqrt{y})((\sqrt{x})^2 + \sqrt{x}\sqrt{y} + (\sqrt{y})^2)}{(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})} = \frac{(\sqrt{x} - \sqrt{y})(x + \sqrt{xy} + y)}{(\sqrt{x} - \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})}$

Поскольку $x \neq y$, то $\sqrt{x} \neq \sqrt{y}$, и множитель $(\sqrt{x} - \sqrt{y})$ не равен нулю. Следовательно, мы можем сократить на него дробь:

$\frac{x + \sqrt{xy} + y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}$

Ответ: $\frac{x + \sqrt{xy} + y}{\sqrt{x} + \sqrt{y}}$