Номер 1, страница 133 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Решите неравенство:

1) $(x + 1)(x - 2)(x + 5) > 0;$

2) $x(x - 3)(x + 2) < 0;$

3) $(2x - 1)(3 - x)(x + 1) < 0;$

4) $(2x + 3)(3x - 1)(x + 4) > 0.$

1) Решим неравенство $(x + 1)(x - 2)(x + 5) > 0$ методом интервалов.
Сначала найдем нули выражения, приравняв каждую скобку к нулю:
$x + 1 = 0 \Rightarrow x_1 = -1$
$x - 2 = 0 \Rightarrow x_2 = 2$
$x + 5 = 0 \Rightarrow x_3 = -5$
Отметим эти точки на числовой оси в порядке возрастания: -5, -1, 2. Так как неравенство строгое ($>$), точки будут выколотыми. Эти точки разбивают числовую ось на четыре интервала: $(-\infty; -5)$, $(-5; -1)$, $(-1; 2)$, $(2; +\infty)$.
Определим знак выражения в каждом интервале.
- В интервале $(2; +\infty)$, например, при $x=3$: $(3+1)(3-2)(3+5) = 4 \cdot 1 \cdot 8 > 0$. Знак «+».
- В интервале $(-1; 2)$, например, при $x=0$: $(0+1)(0-2)(0+5) = 1 \cdot (-2) \cdot 5 < 0$. Знак «-».
- В интервале $(-5; -1)$, например, при $x=-2$: $(-2+1)(-2-2)(-2+5) = (-1) \cdot (-4) \cdot 3 > 0$. Знак «+».
- В интервале $(-\infty; -5)$, например, при $x=-6$: $(-6+1)(-6-2)(-6+5) = (-5) \cdot (-8) \cdot (-1) < 0$. Знак «-».
Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля (знак «+»). Это интервалы $(-5; -1)$ и $(2; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-5; -1) \cup (2; +\infty)$.

2) Решим неравенство $x(x - 3)(x + 2) < 0$ методом интервалов.
Найдем нули выражения:
$x_1 = 0$
$x - 3 = 0 \Rightarrow x_2 = 3$
$x + 2 = 0 \Rightarrow x_3 = -2$
Отметим точки -2, 0, 3 на числовой оси. Неравенство строгое (<), поэтому точки выколотые. Они образуют интервалы: $(-\infty; -2)$, $(-2; 0)$, $(0; 3)$, $(3; +\infty)$.
Определим знаки выражения в интервалах:
- При $x > 3$ (например, $x=4$): $4(4-3)(4+2) > 0$. Знак «+».
- При $0 < x < 3$ (например, $x=1$): $1(1-3)(1+2) < 0$. Знак «-».
- При $-2 < x < 0$ (например, $x=-1$): $(-1)(-1-3)(-1+2) > 0$. Знак «+».
- При $x < -2$ (например, $x=-3$): $(-3)(-3-3)(-3+2) < 0$. Знак «-».
Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля (знак «-»). Это интервалы $(-\infty; -2)$ и $(0; 3)$.
Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (0; 3)$.

3) Решим неравенство $(2x - 1)(3 - x)(x + 1) < 0$.
Для удобства приведем множитель $(3 - x)$ к стандартному виду $(x-3)$, вынеся за скобку -1:
$(2x - 1) \cdot (-(x - 3)) \cdot (x + 1) < 0$
$-(2x - 1)(x - 3)(x + 1) < 0$
Умножим обе части неравенства на -1 и изменим знак неравенства на противоположный:
$(2x - 1)(x - 3)(x + 1) > 0$
Теперь решим это неравенство методом интервалов. Найдем нули:
$2x - 1 = 0 \Rightarrow x_1 = 1/2$
$x - 3 = 0 \Rightarrow x_2 = 3$
$x + 1 = 0 \Rightarrow x_3 = -1$
Отметим точки -1, 1/2, 3 на числовой оси. Точки выколотые. Интервалы: $(-\infty; -1)$, $(-1; 1/2)$, $(1/2; 3)$, $(3; +\infty)$.
Определим знаки выражения $(2x - 1)(x - 3)(x + 1)$:
- При $x > 3$ (например, $x=4$): $(+)(+)(+) > 0$. Знак «+».
- При $1/2 < x < 3$ (например, $x=1$): $(+)(-)(+) < 0$. Знак «-».
- При $-1 < x < 1/2$ (например, $x=0$): $(-)(-)(+) > 0$. Знак «+».
- При $x < -1$ (например, $x=-2$): $(-)(-)(-) < 0$. Знак «-».
Мы ищем решения для неравенства $(2x - 1)(x - 3)(x + 1) > 0$, поэтому выбираем интервалы со знаком «+». Это $(-1; 1/2)$ и $(3; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-1; 1/2) \cup (3; +\infty)$.

4) Решим неравенство $(2x + 3)(3x - 1)(x + 4) > 0$ методом интервалов.
Найдем нули выражения:
$2x + 3 = 0 \Rightarrow 2x = -3 \Rightarrow x_1 = -3/2 = -1.5$
$3x - 1 = 0 \Rightarrow 3x = 1 \Rightarrow x_2 = 1/3$
$x + 4 = 0 \Rightarrow x_3 = -4$
Расположим точки на числовой оси: -4, -1.5, 1/3. Точки выколотые, так как неравенство строгое. Получаем интервалы: $(-\infty; -4)$, $(-4; -3/2)$, $(-3/2; 1/3)$, $(1/3; +\infty)$.
Определим знаки выражения в интервалах:
- При $x > 1/3$ (например, $x=1$): $(+)(+)(+) > 0$. Знак «+».
- При $-3/2 < x < 1/3$ (например, $x=0$): $(+)(-)(+) < 0$. Знак «-».
- При $-4 < x < -3/2$ (например, $x=-2$): $(-)(-)(+) > 0$. Знак «+».
- При $x < -4$ (например, $x=-5$): $(-)(-)(-) < 0$. Знак «-».
Нам нужны интервалы, где выражение больше нуля (знак «+»). Это $(-4; -3/2)$ и $(1/3; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-4; -3/2) \cup (1/3; +\infty)$.