Номер 4, страница 134 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

4. Какое из данных неравенств выполняется при всех действительных значениях переменной?

А) $x^2 - 14x + 49 > 0$

Б) $-3x^2 + x + 2 \le 0$

В) $x^2 - 3x + 4 > 0$

Г) $-x^2 + 7x - 10 < 0$

Чтобы определить, какое из неравенств выполняется при всех действительных значениях переменной, необходимо проанализировать каждое из них. Квадратичное неравенство выполняется для всех действительных $x$, если график соответствующей квадратичной функции $y=ax^2+bx+c$ (парабола) целиком расположен в нужной полуплоскости относительно оси $Ox$. Это определяется знаком старшего коэффициента $a$ и знаком дискриминанта $D=b^2-4ac$.

А) $x^2 - 14x + 49 > 0$

Левая часть неравенства является полным квадратом: $x^2 - 14x + 49 = (x-7)^2$. Неравенство принимает вид $(x-7)^2 > 0$.

Выражение в левой части равно нулю при $x=7$ и строго положительно при всех остальных значениях $x$. Таким образом, неравенство не выполняется при $x=7$.

Альтернативно, для квадратного трехчлена $x^2 - 14x + 49$ имеем: старший коэффициент $a=1 > 0$, а дискриминант $D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 49 = 196 - 196 = 0$. Парабола касается оси $Ox$ в точке $x=7$ и направлена ветвями вверх. Значит, $x^2 - 14x + 49 \ge 0$ для всех $x$, а строгое неравенство $x^2 - 14x + 49 > 0$ выполняется для всех $x \ne 7$.

Ответ: Неравенство выполняется не при всех действительных значениях переменной.

Б) $-3x^2 + x + 2 \le 0$

Рассмотрим соответствующую квадратичную функцию $y = -3x^2 + x + 2$. Старший коэффициент $a=-3 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Найдем дискриминант: $D = 1^2 - 4(-3)(2) = 1 + 24 = 25$.

Поскольку $D = 25 > 0$, парабола пересекает ось $Ox$ в двух точках. Это означает, что функция принимает как положительные, так и отрицательные значения. Следовательно, неравенство не может выполняться для всех действительных $x$. Например, при $x=0$, получаем $2 \le 0$, что неверно.

Ответ: Неравенство выполняется не при всех действительных значениях переменной.

В) $x^2 - 3x + 4 > 0$

Рассмотрим соответствующую квадратичную функцию $y = x^2 - 3x + 4$. Старший коэффициент $a=1 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Найдем дискриминант: $D = (-3)^2 - 4(1)(4) = 9 - 16 = -7$.

Поскольку $D < 0$, парабола не имеет точек пересечения с осью $Ox$. Так как ветви параболы направлены вверх, вся парабола находится выше оси $Ox$. Это означает, что выражение $x^2 - 3x + 4$ всегда положительно.

Следовательно, неравенство $x^2 - 3x + 4 > 0$ выполняется при всех действительных значениях $x$.

Ответ: Неравенство выполняется при всех действительных значениях переменной.

Г) $-x^2 + 7x - 10 < 0$

Рассмотрим соответствующую квадратичную функцию $y = -x^2 + 7x - 10$. Старший коэффициент $a=-1 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Найдем дискриминант: $D = 7^2 - 4(-1)(-10) = 49 - 40 = 9$.

Поскольку $D > 0$, парабола пересекает ось $Ox$ в двух точках ($x_1=2, x_2=5$). Это означает, что функция принимает как положительные (между корнями), так и отрицательные значения (вне интервала между корнями). Следовательно, неравенство не может выполняться для всех действительных $x$. Например, при $x=3$, получаем $-(3)^2+7(3)-10 = -9+21-10=2$. Неравенство $2 < 0$ неверно.

Ответ: Неравенство выполняется не при всех действительных значениях переменной.