Номер 11, страница 135 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

11. Какое наибольшее значение принимает выражение $x + y$, если пара чисел $(x; y)$ является решением системы уравнений

$\begin{cases} x - y = 5, \\ x^2 + 2xy - y^2 = -7? \end{cases}$

А) 1

Б) 6

В) 0

Г) -5

Для нахождения наибольшего значения выражения $x + y$, сначала решим заданную систему уравнений, чтобы найти все возможные пары чисел $(x; y)$.

Система уравнений:

$ \begin{cases} x - y = 5, \\ x^2 + 2xy - y^2 = -7 \end{cases} $

Шаг 1: Выражение одной переменной через другую

Из первого, более простого, уравнения выразим переменную $x$:

$x = y + 5$

Шаг 2: Подстановка и решение уравнения

Теперь подставим это выражение для $x$ во второе уравнение системы:

$(y + 5)^2 + 2(y + 5)y - y^2 = -7$

Раскроем скобки и упростим полученное уравнение:

$(y^2 + 10y + 25) + (2y^2 + 10y) - y^2 = -7$

Приведем подобные слагаемые:

$y^2 + 10y + 25 + 2y^2 + 10y - y^2 = -7$

$2y^2 + 20y + 25 = -7$

Перенесем все в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ay^2 + by + c = 0$:

$2y^2 + 20y + 32 = 0$

Для удобства разделим все уравнение на 2:

$y^2 + 10y + 16 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-10$, а произведение равно $16$. Корнями являются числа $-2$ и $-8$.

$y_1 = -2$

$y_2 = -8$

Шаг 3: Нахождение соответствующих значений $x$

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого найденного $y$, используя формулу $x = y + 5$.

Для $y_1 = -2$ получаем $x_1 = -2 + 5 = 3$. Первое решение системы: $(3; -2)$.

Для $y_2 = -8$ получаем $x_2 = -8 + 5 = -3$. Второе решение системы: $(-3; -8)$.

Шаг 4: Вычисление $x+y$ и выбор наибольшего значения

Теперь вычислим сумму $x + y$ для каждой пары решений.

1. Для пары $(3; -2)$: $x + y = 3 + (-2) = 1$.

2. Для пары $(-3; -8)$: $x + y = -3 + (-8) = -11$.

Сравнивая полученные значения $1$ и $-11$, выбираем наибольшее.

Наибольшее значение выражения $x + y$ равно $1$.

Ответ: 1.