Номер 12, страница 135 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

12. Пара чисел $(a; b)$ является решением системы уравнений

$$\begin{cases} \frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 4, \\ \frac{1}{x} - \frac{3}{y} = 9. \end{cases}$$

Найдите значение выражения $a - b.$

А) 5
Б) 1
В) $\frac{1}{6}$
Г) $\frac{5}{6}$

Найдите значение выражения $a - b$.

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 4, \\ \frac{1}{x} - \frac{3}{y} = 9. \end{cases} $$ По условию, пара чисел $(a; b)$ является решением этой системы. Это значит, что если подставить $x=a$ и $y=b$ в уравнения, они превратятся в верные равенства. Наша задача — найти эти значения и вычислить разность $a - b$.

Для удобства решения введем замену переменных. Пусть $u = \frac{1}{x}$ и $v = \frac{1}{y}$. Тогда система уравнений примет следующий вид: $$ \begin{cases} 2u + v = 4, \\ u - 3v = 9. \end{cases} $$ Теперь мы имеем стандартную систему линейных уравнений относительно переменных $u$ и $v$. Решим ее методом сложения. Для этого умножим обе части первого уравнения на 3, чтобы коэффициенты при переменной $v$ стали противоположными числами: $$ \begin{cases} 3 \cdot (2u + v) = 3 \cdot 4, \\ u - 3v = 9. \end{cases} $$ $$ \begin{cases} 6u + 3v = 12, \\ u - 3v = 9. \end{cases} $$ Теперь сложим левые и правые части уравнений: $$(6u + 3v) + (u - 3v) = 12 + 9$$ $$7u = 21$$ Отсюда находим $u$: $$u = \frac{21}{7} = 3$$

Подставим найденное значение $u=3$ в любое из уравнений системы, чтобы найти $v$. Удобнее всего подставить в первое уравнение $2u + v = 4$: $$2 \cdot 3 + v = 4$$ $$6 + v = 4$$ $$v = 4 - 6$$ $$v = -2$$

Мы нашли, что $u=3$ и $v=-2$. Теперь вернемся к исходным переменным. Так как $x=a$ и $y=b$, то: $$u = \frac{1}{x} = \frac{1}{a} \Rightarrow 3 = \frac{1}{a} \Rightarrow a = \frac{1}{3}$$ $$v = \frac{1}{y} = \frac{1}{b} \Rightarrow -2 = \frac{1}{b} \Rightarrow b = -\frac{1}{2}$$

Теперь, зная значения $a$ и $b$, мы можем вычислить значение выражения $a - b$: $$a - b = \frac{1}{3} - \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{3} + \frac{1}{2}$$ Приводим дроби к общему знаменателю, который равен 6: $$a - b = \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6}$$ Таким образом, значение выражения равно $\frac{5}{6}$. Это соответствует варианту Г).

Ответ: $\frac{5}{6}$.