Номер 13, страница 135 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

13. Пары чисел $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ являются решениями системы уравнений

$\begin{cases} 2x - xy = 5, \\ y + xy = 6. \end{cases}$ Найдите значение выражения $|x_1y_1 - x_2y_2|$.

А) 1

Б) 11

В) 70

Г) 10

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2x - xy = 5 \\ y + xy = 6 \end{cases} $

Пары чисел $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ являются решениями этой системы. Необходимо найти значение выражения $|x_1y_1 - x_2y_2|$.

Шаг 1: Упрощение системы уравнений

Сложим первое и второе уравнения системы, чтобы исключить член $xy$:

$(2x - xy) + (y + xy) = 5 + 6$

$2x + y = 11$

Из этого уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 11 - 2x$

Шаг 2: Нахождение значений $x$

Подставим выражение для $y$ во второе уравнение исходной системы (можно и в первое, результат будет тот же):

$y + xy = 6$

$(11 - 2x) + x(11 - 2x) = 6$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$11 - 2x + 11x - 2x^2 = 6$

$-2x^2 + 9x + 11 - 6 = 0$

$-2x^2 + 9x + 5 = 0$

Умножим уравнение на $-1$, чтобы сделать старший коэффициент положительным:

$2x^2 - 9x - 5 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни, которые и будут являться решениями $x_1$ и $x_2$. Воспользуемся формулой для корней квадратного уравнения через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121 = 11^2$

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-9) + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{9 + 11}{4} = \frac{20}{4} = 5$

$x_2 = \frac{-(-9) - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{9 - 11}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$

Шаг 3: Нахождение значений $y$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого $x$, используя формулу $y = 11 - 2x$:

Для $x_1 = 5$:

$y_1 = 11 - 2(5) = 11 - 10 = 1$

Первое решение системы: $(5; 1)$.

Для $x_2 = -0.5$:

$y_2 = 11 - 2(-0.5) = 11 + 1 = 12$

Второе решение системы: $(-0.5; 12)$.

Шаг 4: Вычисление значения выражения

Теперь, когда у нас есть оба решения $(x_1; y_1) = (5; 1)$ и $(x_2; y_2) = (-0.5; 12)$, мы можем вычислить значение искомого выражения $|x_1y_1 - x_2y_2|$.

Сначала найдем произведения $x_1y_1$ и $x_2y_2$:

$x_1y_1 = 5 \cdot 1 = 5$

$x_2y_2 = (-0.5) \cdot 12 = -6$

Теперь подставим эти значения в выражение:

$|x_1y_1 - x_2y_2| = |5 - (-6)| = |5 + 6| = |11| = 11$

Ответ: 11