Номер 15, страница 135 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

15. При каком значении $a$ система уравнений $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ x - y = a \end{cases} $ имеет единственное решение?

А) $a = 5$

В) $a = -5$ или $a = 5$

Б) $a = 5\sqrt{2}$

Г) $a = -5\sqrt{2}$ или $a = 5\sqrt{2}$

Для того чтобы система уравнений имела единственное решение, необходимо найти такие значения параметра $a$, при которых графики уравнений имеют ровно одну точку пересечения. Рассмотрим два способа решения: алгебраический и геометрический.

Алгебраический способ

Дана система уравнений:

$$\begin{cases}x^2 + y^2 = 25 \\x - y = a\end{cases}$$

Выразим переменную $x$ из второго уравнения:

$x = y + a$

Подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение системы:

$(y + a)^2 + y^2 = 25$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение относительно $y$:

$y^2 + 2ay + a^2 + y^2 - 25 = 0$

$2y^2 + 2ay + (a^2 - 25) = 0$

Эта система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда полученное квадратное уравнение имеет единственный корень. Квадратное уравнение имеет один корень, если его дискриминант ($D$) равен нулю.

Для уравнения вида $Ay^2 + By + C = 0$, дискриминант вычисляется по формуле $D = B^2 - 4AC$. В нашем случае коэффициенты равны: $A=2$, $B=2a$, $C = a^2 - 25$.

Вычислим дискриминант:

$D = (2a)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (a^2 - 25)$

$D = 4a^2 - 8(a^2 - 25)$

$D = 4a^2 - 8a^2 + 200$

$D = 200 - 4a^2$

Приравняем дискриминант к нулю:

$200 - 4a^2 = 0$

$4a^2 = 200$

$a^2 = \frac{200}{4}$

$a^2 = 50$

$a = \pm\sqrt{50} = \pm\sqrt{25 \cdot 2} = \pm5\sqrt{2}$

Таким образом, система имеет единственное решение при $a = 5\sqrt{2}$ или $a = -5\sqrt{2}$.

Геометрический способ

Рассмотрим уравнения системы в декартовой системе координат.

Первое уравнение $x^2 + y^2 = 25$ — это уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{25} = 5$.

Второе уравнение $x - y = a$, или $y = x - a$, — это семейство параллельных прямых с угловым коэффициентом $k=1$. Параметр $a$ отвечает за сдвиг прямой вдоль оси ординат.

Система имеет единственное решение в том случае, когда прямая касается окружности, то есть имеет с ней ровно одну общую точку. Это происходит, когда расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности.

Уравнение прямой в общем виде: $x - y - a = 0$.
Центр окружности: $(x_0, y_0) = (0, 0)$.
Радиус: $R = 5$.

Расстояние $d$ от точки $(x_0, y_0)$ до прямой $Ax + By + C = 0$ находится по формуле:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

Подставим наши значения ($A=1, B=-1, C=-a$):

$d = \frac{|1 \cdot 0 + (-1) \cdot 0 - a|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|-a|}{\sqrt{1+1}} = \frac{|a|}{\sqrt{2}}$

Приравняем расстояние к радиусу:

$\frac{|a|}{\sqrt{2}} = 5$

$|a| = 5\sqrt{2}$

Из этого уравнения следует, что $a$ может принимать два значения:

$a = 5\sqrt{2}$ или $a = -5\sqrt{2}$

Оба способа дают одинаковый результат, который соответствует варианту Г.

Ответ: Г) $a = -5\sqrt{2}$ или $a = 5\sqrt{2}$