Номер 17, страница 135 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

17. При каких значениях $a$ неравенство $ax^2 - 2x + a < 0$ не имеет решений?

А) $a < -1$ или $a > 1$

Б) $a \ge 1$

В) $-1 < a < 1$

Г) таких значений не существует

Для того чтобы неравенство $ax^2 - 2x + a < 0$ не имело решений, необходимо и достаточно, чтобы для всех действительных значений $x$ выполнялось противоположное неравенство: $ax^2 - 2x + a \ge 0$.

Рассмотрим функцию $f(x) = ax^2 - 2x + a$. Условие $f(x) \ge 0$ для всех $x$ означает, что график этой функции (парабола или прямая) должен целиком располагаться не ниже оси абсцисс.

Рассмотрим два случая в зависимости от значения параметра $a$.

Случай 1: $a = 0$
Если $a = 0$, то неравенство становится линейным:
$0 \cdot x^2 - 2x + 0 \ge 0$
$-2x \ge 0$
$x \le 0$
Это неравенство выполняется не для всех $x$, а только для $x \le 0$. Следовательно, исходное неравенство $ax^2 - 2x + a < 0$ имеет решения (при $x > 0$). Таким образом, $a = 0$ не является решением задачи.

Случай 2: $a \ne 0$
В этом случае функция $f(x) = ax^2 - 2x + a$ является квадратичной, и её график — парабола. Чтобы парабола целиком лежала не ниже оси $Ox$, должны одновременно выполняться два условия:
1. Ветви параболы должны быть направлены вверх. Это соответствует условию на старший коэффициент: $a > 0$.
2. Парабола должна иметь не более одной точки пересечения с осью $Ox$ (то есть касаться её или не пересекать вовсе). Это соответствует условию на дискриминант: $D \le 0$.

Найдем дискриминант квадратного трехчлена $ax^2 - 2x + a$:
$D = (-2)^2 - 4 \cdot a \cdot a = 4 - 4a^2$.

Теперь запишем и решим систему неравенств, объединяющую эти два условия: $$ \begin{cases} a > 0 \\ 4 - 4a^2 \le 0 \end{cases} $$

Решим второе неравенство системы:
$4 - 4a^2 \le 0$
$4 \le 4a^2$
$1 \le a^2$
Неравенство $a^2 \ge 1$ выполняется, когда $a \le -1$ или $a \ge 1$.

Теперь найдем общее решение системы. Мы ищем значения $a$, которые удовлетворяют одновременно условиям $a > 0$ и ($a \le -1$ или $a \ge 1$). Пересечением этих множеств является промежуток $a \ge 1$.

Итак, неравенство $ax^2 - 2x + a < 0$ не имеет решений при $a \ge 1$. Сравнивая с предложенными вариантами, видим, что это соответствует варианту Б.

Ответ: $a \ge 1$.