Номер 484, страница 143 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

484. Масса куска одного металла равна 336 г, а куска другого – 320 г. Объём куска первого металла на $10 \text{ см}^3$ меньше объёма второго, а плотность первого – на $2 \text{ г}/\text{см}^3$ больше плотности второго. Найдите плотность каждого металла.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ г/см³ — плотность второго металла.

Согласно условию, плотность первого металла на 2 г/см³ больше, следовательно, она равна $(x+2)$ г/см³.

Масса первого металла $m_1 = 336$ г, а масса второго — $m_2 = 320$ г.

Воспользуемся формулой, связывающей массу ($m$), объём ($V$) и плотность ($ρ$): $V = \frac{m}{ρ}$.

Выразим объёмы каждого куска металла через их плотности:

Объём первого металла: $V_1 = \frac{m_1}{ρ_1} = \frac{336}{x+2}$ см³.

Объём второго металла: $V_2 = \frac{m_2}{ρ_2} = \frac{320}{x}$ см³.

По условию, объём первого куска на 10 см³ меньше объёма второго: $V_1 = V_2 - 10$.

Подставим выражения для объёмов в это равенство и получим уравнение:

$\frac{336}{x+2} = \frac{320}{x} - 10$

Для решения этого рационального уравнения приведем его к общему знаменателю. Перенесем все члены в одну часть:

$\frac{336}{x+2} - \frac{320}{x} + 10 = 0$

Общий знаменатель для дробей — $x(x+2)$. Умножим каждый член на недостающие множители, чтобы привести к общему знаменателю:

$\frac{336x - 320(x+2) + 10x(x+2)}{x(x+2)} = 0$

Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Так как $x$ — это плотность, она должна быть положительной, поэтому $x > 0$ и знаменатель $x(x+2)$ не равен нулю. Приравняем числитель к нулю и раскроем скобки:

$336x - 320x - 640 + 10x^2 + 20x = 0$

Приведём подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение:

$10x^2 + (336 - 320 + 20)x - 640 = 0$

$10x^2 + 36x - 640 = 0$

Разделим все коэффициенты на 2 для упрощения:

$5x^2 + 18x - 320 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$):

$D = 18^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-320) = 324 + 6400 = 6724$

Найдём корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{6724} = 82$

$x_1 = \frac{-18 + 82}{2 \cdot 5} = \frac{64}{10} = 6.4$

$x_2 = \frac{-18 - 82}{2 \cdot 5} = \frac{-100}{10} = -10$

Поскольку $x$ обозначает плотность, эта величина должна быть положительной. Следовательно, корень $x_2 = -10$ является посторонним и не подходит по смыслу задачи.

Таким образом, плотность второго металла составляет $x = 6.4$ г/см³.

Теперь найдём плотность первого металла:

$ρ_1 = x + 2 = 6.4 + 2 = 8.4$ г/см³.

Ответ: плотность первого металла — 8,4 г/см³, плотность второго металла — 6,4 г/см³.