Номер 487, страница 143 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

487. Два мотоциклиста выехали одновременно из городов $A$ и $B$ навстречу друг другу. Через час они встретились и, не останавливаясь, продолжили двигаться с той же скоростью. Один из них прибыл в город $A$ на 35 мин раньше, чем второй – в город $B$. Найдите скорость каждого мотоциклиста, если расстояние между городами составляет 140 км.

Пусть $v_1$ (км/ч) — скорость первого мотоциклиста, выехавшего из города А, а $v_2$ (км/ч) — скорость второго мотоциклиста, выехавшего из города В. Расстояние между городами $S = 140$ км.

1. Составление первого уравнения.

Мотоциклисты ехали навстречу друг другу и встретились через 1 час. За это время первый мотоциклист проехал расстояние $S_1 = v_1 \cdot 1 = v_1$ км, а второй — $S_2 = v_2 \cdot 1 = v_2$ км. Вместе они проехали все расстояние между городами. Таким образом, получаем первое уравнение:

$v_1 + v_2 = 140$

2. Составление второго уравнения.

После встречи первый мотоциклист должен был проехать оставшееся расстояние, равное тому, которое проехал второй до встречи, то есть $v_2$ км. Время, которое он на это затратил: $t_1 = \frac{v_2}{v_1}$ ч.

Второй мотоциклист после встречи должен был проехать расстояние, которое проехал первый до встречи, то есть $v_1$ км. Время, которое он на это затратил: $t_2 = \frac{v_1}{v_2}$ ч.

По условию, один из них прибыл в пункт назначения на 35 минут раньше другого. Переведем 35 минут в часы: $35 \text{ мин} = \frac{35}{60} \text{ ч} = \frac{7}{12}$ ч.

Разница во времени прибытия после встречи составляет $\frac{7}{12}$ часа. Это означает, что $|t_1 - t_2| = \frac{7}{12}$. Давайте предположим, что второй мотоциклист (ехавший из B в A) прибыл раньше. Это значит, что его скорость $v_2$ больше, а время в пути $t_2$ меньше. Тогда $t_1 - t_2 = \frac{7}{12}$. Получаем второе уравнение:

$\frac{v_2}{v_1} - \frac{v_1}{v_2} = \frac{7}{12}$

3. Решение системы уравнений.

У нас есть система из двух уравнений:

$\begin{cases} v_1 + v_2 = 140 \\ \frac{v_2}{v_1} - \frac{v_1}{v_2} = \frac{7}{12} \end{cases}$

Для решения второго уравнения введем замену. Пусть $x = \frac{v_2}{v_1}$. Тогда $\frac{v_1}{v_2} = \frac{1}{x}$. Уравнение примет вид:

$x - \frac{1}{x} = \frac{7}{12}$

Умножим обе части на $12x$ (поскольку скорости не могут быть нулевыми, $x \ne 0$):

$12x^2 - 12 = 7x$

$12x^2 - 7x - 12 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-12) = 49 + 576 = 625 = 25^2$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 25}{2 \cdot 12} = \frac{32}{24} = \frac{4}{3}$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 25}{2 \cdot 12} = \frac{-18}{24} = -\frac{3}{4}$

Поскольку $x$ представляет собой отношение скоростей, оно должно быть положительным числом. Следовательно, $x = \frac{4}{3}$.

Возвращаемся к замене: $\frac{v_2}{v_1} = \frac{4}{3}$, откуда $v_2 = \frac{4}{3}v_1$.

Теперь подставим это выражение в первое уравнение системы:

$v_1 + \frac{4}{3}v_1 = 140$

$\frac{3}{3}v_1 + \frac{4}{3}v_1 = 140$

$\frac{7}{3}v_1 = 140$

$v_1 = 140 \cdot \frac{3}{7} = 20 \cdot 3 = 60$

Теперь найдем $v_2$:

$v_2 = 140 - v_1 = 140 - 60 = 80$

Таким образом, скорость первого мотоциклиста равна 60 км/ч, а второго — 80 км/ч.

Ответ: скорость одного мотоциклиста 60 км/ч, скорость другого — 80 км/ч.