Номер 490, страница 144 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 14. Математическое моделирование. Глава 3. Элементы прикладной математики - номер 490, страница 144.

Условия.

490. От станции $M$ в направлении станции $N$, расстояние между которыми равно 450 км, отправился скорый поезд. Через 3 ч после этого от станции $N$ в направлении станции $M$ отправился товарный поезд, который встретился со скорым через 3 ч после своего выхода. Скорый поезд преодолевает расстояние между станциями $M$ и $N$ на 7 ч 30 мин быстрее, чем товарный. Найдите скорость каждого поезда.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Пусть $v_с$ — скорость скорого поезда в км/ч, а $v_т$ — скорость товарного поезда в км/ч.

Расстояние между станциями M и N равно 450 км.

Скорый поезд выехал из M в N. Через 3 часа после этого из N в M выехал товарный поезд. Они встретились через 3 часа после выезда товарного поезда.

Это означает, что к моменту встречи товарный поезд находился в пути 3 часа, а скорый поезд — $3 + 3 = 6$ часов.

За 6 часов скорый поезд проехал расстояние $S_с = 6 \cdot v_с$ км.

За 3 часа товарный поезд проехал расстояние $S_т = 3 \cdot v_т$ км.

Поскольку поезда двигались навстречу друг другу и встретились, суммарное пройденное ими расстояние равно расстоянию между станциями. Составим первое уравнение: $S_с + S_т = 450$ $6v_с + 3v_т = 450$

Разделим обе части уравнения на 3 для упрощения: $2v_с + v_т = 150$

Известно, что скорый поезд проходит все расстояние на 7 ч 30 мин быстрее товарного. Переведем это время в часы: $7$ ч $30$ мин $= 7.5$ часа.

Время, за которое скорый поезд проходит весь путь в 450 км, равно $T_с = \frac{450}{v_с}$ ч.

Время, за которое товарный поезд проходит тот же путь, равно $T_т = \frac{450}{v_т}$ ч.

Так как скорый поезд быстрее, его время в пути меньше. Составим второе уравнение: $T_т - T_с = 7.5$ $\frac{450}{v_т} - \frac{450}{v_с} = 7.5$

Получили систему из двух уравнений: $ \begin{cases} 2v_с + v_т = 150 \\ \frac{450}{v_т} - \frac{450}{v_с} = 7.5 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $v_т$: $v_т = 150 - 2v_с$

Подставим это выражение во второе уравнение: $\frac{450}{150 - 2v_с} - \frac{450}{v_с} = 7.5$

Разделим обе части уравнения на 7.5 (так как $450 / 7.5 = 60$): $\frac{60}{150 - 2v_с} - \frac{60}{v_с} = 1$

Умножим обе части на $v_с(150 - 2v_с)$, чтобы избавиться от знаменателей (при условии, что $v_с \ne 0$ и $150 - 2v_с \ne 0$): $60v_с - 60(150 - 2v_с) = v_с(150 - 2v_с)$ $60v_с - 9000 + 120v_с = 150v_с - 2v_с^2$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$: $180v_с - 9000 = 150v_с - 2v_с^2$ $2v_с^2 + 180v_с - 150v_с - 9000 = 0$ $2v_с^2 + 30v_с - 9000 = 0$

Разделим уравнение на 2: $v_с^2 + 15v_с - 4500 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$: $D = 15^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4500) = 225 + 18000 = 18225$

Найдем корни уравнения, зная, что $\sqrt{18225} = 135$: $v_{с1} = \frac{-15 + 135}{2} = \frac{120}{2} = 60$ $v_{с2} = \frac{-15 - 135}{2} = \frac{-150}{2} = -75$

Скорость не может быть отрицательной, поэтому подходит только первый корень. Таким образом, скорость скорого поезда $v_с = 60$ км/ч.

Теперь найдем скорость товарного поезда: $v_т = 150 - 2v_с = 150 - 2 \cdot 60 = 150 - 120 = 30$ км/ч.

Проверка:
Время в пути скорого поезда: $\frac{450 \text{ км}}{60 \text{ км/ч}} = 7.5$ ч.
Время в пути товарного поезда: $\frac{450 \text{ км}}{30 \text{ км/ч}} = 15$ ч.
Разница во времени: $15 - 7.5 = 7.5$ ч, что соответствует 7 ч 30 мин. Условие выполнено.
До встречи скорый поезд проехал $6 \text{ ч} \cdot 60 \text{ км/ч} = 360$ км. Товарный поезд проехал $3 \text{ ч} \cdot 30 \text{ км/ч} = 90$ км. Сумма расстояний $360 + 90 = 450$ км. Условие выполнено.

Ответ: скорость скорого поезда — 60 км/ч, скорость товарного поезда — 30 км/ч.