Номер 485, страница 143 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

485. Теплоход прошёл по течению реки 100 км и против течения 64 км за 9 ч. За это время он мог пройти 80 км по течению и 80 км против течения. Найдите собственную скорость теплохода.

Пусть $v_c$ км/ч — собственная скорость теплохода, а $v_т$ км/ч — скорость течения реки. Тогда скорость теплохода по течению реки равна $(v_c + v_т)$ км/ч, а скорость против течения — $(v_c - v_т)$ км/ч.

Время в пути вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость.

Из первого условия задачи известно, что теплоход прошёл 100 км по течению и 64 км против течения за 9 часов. На основе этого мы можем составить первое уравнение:

$\frac{100}{v_c + v_т} + \frac{64}{v_c - v_т} = 9$

Из второго условия известно, что за те же 9 часов теплоход мог бы пройти 80 км по течению и 80 км против течения. Составим второе уравнение:

$\frac{80}{v_c + v_т} + \frac{80}{v_c - v_т} = 9$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Для удобства решения введём замену переменных. Пусть $x = \frac{1}{v_c + v_т}$ (время, за которое теплоход проходит 1 км по течению) и $y = \frac{1}{v_c - v_т}$ (время, за которое теплоход проходит 1 км против течения). Тогда система уравнений примет вид:

$\begin{cases}100x + 64y = 9 \\80x + 80y = 9\end{cases}$

Решим полученную систему. Упростим второе уравнение, разделив обе его части на 80:

$x + y = \frac{9}{80}$

Выразим $y$ через $x$:

$y = \frac{9}{80} - x$

Теперь подставим это выражение в первое уравнение системы:

$100x + 64(\frac{9}{80} - x) = 9$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$:

$100x + \frac{64 \cdot 9}{80} - 64x = 9$

$36x + \frac{576}{80} = 9$

$36x + 7.2 = 9$

$36x = 9 - 7.2$

$36x = 1.8$

$x = \frac{1.8}{36} = \frac{18}{360} = \frac{1}{20}$

Теперь найдем значение $y$:

$y = \frac{9}{80} - x = \frac{9}{80} - \frac{1}{20} = \frac{9}{80} - \frac{4}{80} = \frac{5}{80} = \frac{1}{16}$

Сделаем обратную замену:

$x = \frac{1}{v_c + v_т} = \frac{1}{20} \implies v_c + v_т = 20$

$y = \frac{1}{v_c - v_т} = \frac{1}{16} \implies v_c - v_т = 16$

Теперь у нас есть новая, более простая система уравнений:

$\begin{cases}v_c + v_т = 20 \\v_c - v_т = 16\end{cases}$

Чтобы найти собственную скорость теплохода $v_c$, сложим два уравнения этой системы:

$(v_c + v_т) + (v_c - v_т) = 20 + 16$

$2v_c = 36$

$v_c = \frac{36}{2} = 18$

Собственная скорость теплохода равна 18 км/ч.

Ответ: 18 км/ч.