Номер 492, страница 144 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

492. Два друга в одной лодке проплыли по реке вдоль берега и вернулись по тому же самому маршруту по реке через 5 ч после момента отплытия. Весь путь составил 10 км. Каждые 2 км против течения они проплывали за то же время, что и каждые 3 км по течению. Найдите скорость течения.

Для решения этой задачи введем следующие обозначения:

• $v_л$ — собственная скорость лодки (в стоячей воде) в км/ч.
• $v_т$ — скорость течения реки в км/ч.

Тогда скорость лодки по течению будет $v_{по} = v_л + v_т$, а скорость против течения — $v_{против} = v_л - v_т$.

1. Определим расстояние в одну сторону. Весь путь туда и обратно составил 10 км. Это значит, что расстояние в одну сторону равно $S = 10 / 2 = 5$ км.

2. Составим первое уравнение на основе соотношения времени и расстояния. По условию, каждые 2 км против течения лодка проплывала за то же время, что и каждые 3 км по течению. Время вычисляется по формуле $t = S/v$. Таким образом, мы можем записать равенство: $t_{2км\_против} = t_{3км\_по}$ $\frac{2}{v_{против}} = \frac{3}{v_{по}}$ Подставим выражения для скоростей: $\frac{2}{v_л - v_т} = \frac{3}{v_л + v_т}$ Используя свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем: $2(v_л + v_т) = 3(v_л - v_т)$ $2v_л + 2v_т = 3v_л - 3v_т$ $2v_т + 3v_т = 3v_л - 2v_л$ $5v_т = v_л$ Мы получили важное соотношение: собственная скорость лодки в 5 раз больше скорости течения.

3. Составим второе уравнение на основе общего времени в пути. Общее время в пути составляет 5 часов. Оно складывается из времени движения по течению ($t_{по}$) и времени движения против течения ($t_{против}$): $t_{по} + t_{против} = 5$ $\frac{S}{v_{по}} + \frac{S}{v_{против}} = 5$ Подставим значение расстояния $S=5$ км: $\frac{5}{v_л + v_т} + \frac{5}{v_л - v_т} = 5$ Можно разделить все уравнение на 5 для упрощения: $\frac{1}{v_л + v_т} + \frac{1}{v_л - v_т} = 1$

4. Решим систему уравнений. Теперь подставим выражение $v_л = 5v_т$ из шага 2 в упрощенное уравнение из шага 3: $\frac{1}{5v_т + v_т} + \frac{1}{5v_т - v_т} = 1$ $\frac{1}{6v_т} + \frac{1}{4v_т} = 1$ Приведем дроби к общему знаменателю, который равен $12v_т$: $\frac{2}{12v_т} + \frac{3}{12v_т} = 1$ $\frac{5}{12v_т} = 1$ Отсюда следует, что: $12v_т = 5$ $v_т = \frac{5}{12}$

Таким образом, скорость течения реки составляет $\frac{5}{12}$ км/ч.
Ответ: $\frac{5}{12}$ км/ч.