Номер 497, страница 145 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

497. Есть два слитка сплавов золота и меди. В первом слитке отношение масс золота и меди равно 1 : 2, а во втором 2 : 3. Если сплавить $ \frac{1}{3} $ первого слитка с $ \frac{5}{6} $ второго, то в полученном слитке окажется столько золота, сколько было меди в первом слитке, а если сплавить $ \frac{2}{3} $ первого слитка и половину второго, то в полученном слитке окажется меди на 1 кг больше, чем было золота во втором слитке. Сколько золота в каждом слитке?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ кг — это масса первого слитка, а $y$ кг — масса второго слитка.

Состав первого слитка (масса $x$ кг):

Отношение массы золота к массе меди равно 1:2. Это значит, что слиток состоит из $1+2=3$ частей.

• Масса золота в первом слитке: $\frac{1}{3}x$ кг.
• Масса меди в первом слитке: $\frac{2}{3}x$ кг.

Состав второго слитка (масса $y$ кг):

Отношение массы золота к массе меди равно 2:3. Это значит, что слиток состоит из $2+3=5$ частей.

• Масса золота во втором слитке: $\frac{2}{5}y$ кг.
• Масса меди во втором слитке: $\frac{3}{5}y$ кг.

Теперь составим систему уравнений на основе двух условий из задачи.

1. Первое условие:

Сплавили $\frac{1}{3}$ первого слитка и $\frac{5}{6}$ второго. Масса золота в полученном сплаве равна массе меди в первом слитке.

Масса золота из $\frac{1}{3}$ первого слитка: $\frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{3}x) = \frac{1}{9}x$.

Масса золота из $\frac{5}{6}$ второго слитка: $\frac{5}{6} \cdot (\frac{2}{5}y) = \frac{10}{30}y = \frac{1}{3}y$.

Общая масса золота в новом сплаве: $\frac{1}{9}x + \frac{1}{3}y$.

Эта масса равна массе меди в первом слитке, то есть $\frac{2}{3}x$.

Получаем первое уравнение:

$\frac{1}{9}x + \frac{1}{3}y = \frac{2}{3}x$

Упростим его. Умножим все члены на 9, чтобы избавиться от знаменателей:

$x + 3y = 6x$

$3y = 5x$

2. Второе условие:

Сплавили $\frac{2}{3}$ первого слитка и половину ($\frac{1}{2}$) второго. Масса меди в полученном сплаве на 1 кг больше, чем масса золота во втором слитке.

Масса меди из $\frac{2}{3}$ первого слитка: $\frac{2}{3} \cdot (\frac{2}{3}x) = \frac{4}{9}x$.

Масса меди из $\frac{1}{2}$ второго слитка: $\frac{1}{2} \cdot (\frac{3}{5}y) = \frac{3}{10}y$.

Общая масса меди в новом сплаве: $\frac{4}{9}x + \frac{3}{10}y$.

Эта масса на 1 кг больше массы золота во втором слитке ($\frac{2}{5}y$).

Получаем второе уравнение:

$\frac{4}{9}x + \frac{3}{10}y = \frac{2}{5}y + 1$

Упростим его. Перенесем члены с $y$ в одну сторону:

$\frac{4}{9}x = \frac{2}{5}y - \frac{3}{10}y + 1$

$\frac{4}{9}x = \frac{4}{10}y - \frac{3}{10}y + 1$

$\frac{4}{9}x = \frac{1}{10}y + 1$

Решение системы уравнений:

Мы имеем систему:

$ \begin{cases} 3y = 5x \\ \frac{4}{9}x = \frac{1}{10}y + 1 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $y$ через $x$: $y = \frac{5}{3}x$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$\frac{4}{9}x = \frac{1}{10}(\frac{5}{3}x) + 1$

$\frac{4}{9}x = \frac{5}{30}x + 1$

$\frac{4}{9}x = \frac{1}{6}x + 1$

Перенесем члены с $x$ в левую часть:

$\frac{4}{9}x - \frac{1}{6}x = 1$

Приведем дроби к общему знаменателю 18:

$\frac{4 \cdot 2}{18}x - \frac{1 \cdot 3}{18}x = 1$

$\frac{8}{18}x - \frac{3}{18}x = 1$

$\frac{5}{18}x = 1$

$x = \frac{18}{5} = 3.6$ кг.

Теперь найдем массу второго слитка $y$:

$y = \frac{5}{3}x = \frac{5}{3} \cdot 3.6 = 5 \cdot 1.2 = 6$ кг.

Итак, масса первого слитка $x = 3.6$ кг, а масса второго слитка $y = 6$ кг.

Вопрос задачи: "Сколько золота в каждом слитке?".

Масса золота в первом слитке: $\frac{1}{3}x = \frac{1}{3} \cdot 3.6 = 1.2$ кг.

Масса золота во втором слитке: $\frac{2}{5}y = \frac{2}{5} \cdot 6 = \frac{12}{5} = 2.4$ кг.

Ответ: в первом слитке 1,2 кг золота, а во втором — 2,4 кг золота.