Номер 493, страница 144 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

493. Две бригады, работая вместе, могут выполнить производственное задание за 8 дней. Если первая бригада, работая самостоятельно, выполнит $\frac{1}{3}$ задания, а затем её сменит вторая бригада, то задание будет выполнено за 20 дней. За сколько дней каждая бригада может выполнить данное производственное задание, работая самостоятельно?

Примем весь объем производственного задания за 1 (единицу).

Пусть $x$ — это количество дней, за которое первая бригада может выполнить все задание, работая самостоятельно.
Пусть $y$ — это количество дней, за которое вторая бригада может выполнить все задание, работая самостоятельно.

Тогда производительность (скорость работы) первой бригады составляет $\frac{1}{x}$ задания в день, а производительность второй бригады — $\frac{1}{y}$ задания в день.

Составим систему уравнений на основе условий задачи.

1. «Две бригады, работая вместе, могут выполнить производственное задание за 8 дней.»
Их совместная производительность равна сумме их индивидуальных производительностей: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$.
За 8 дней они выполняют всю работу, что дает нам первое уравнение:
$(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) \cdot 8 = 1$, или $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{8}$.

2. «Если первая бригада, работая самостоятельно, выполнит $\frac{1}{3}$ задания, а затем ее сменит вторая бригада, то задание будет выполнено за 20 дней.»
Время, которое первая бригада затратит на выполнение $\frac{1}{3}$ задания, равно: $t_1 = \frac{\text{Объем работы}}{\text{Производительность}} = \frac{1/3}{1/x} = \frac{x}{3}$ дней.
После этого второй бригаде останется выполнить $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ задания.
Время, которое вторая бригада затратит на выполнение оставшейся части, равно: $t_2 = \frac{2/3}{1/y} = \frac{2y}{3}$ дней.
Общее время выполнения составляет 20 дней, что дает нам второе уравнение:
$t_1 + t_2 = 20$, или $\frac{x}{3} + \frac{2y}{3} = 20$.

Решим полученную систему уравнений:

$\begin{cases}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{8} \\\frac{x}{3} + \frac{2y}{3} = 20\end{cases}$

Из второго уравнения (умножив его на 3) выразим $x$:
$x + 2y = 60$
$x = 60 - 2y$

Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение:

$\frac{1}{60 - 2y} + \frac{1}{y} = \frac{1}{8}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю:

$\frac{y + (60 - 2y)}{y(60 - 2y)} = \frac{1}{8}$

$\frac{60 - y}{60y - 2y^2} = \frac{1}{8}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$8(60 - y) = 1(60y - 2y^2)$

$480 - 8y = 60y - 2y^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$2y^2 - 68y + 480 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения:

$y^2 - 34y + 240 = 0$

Решим это уравнение. Найдем дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac = (-34)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 240 = 1156 - 960 = 196 = 14^2$

Найдем корни уравнения для $y$:

$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{34 \pm 14}{2}$

Получаем два возможных решения для $y$:

$y_1 = \frac{34 + 14}{2} = \frac{48}{2} = 24$

$y_2 = \frac{34 - 14}{2} = \frac{20}{2} = 10$

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого случая, используя $x = 60 - 2y$.

Случай 1: Если $y_1 = 24$ (время работы второй бригады 24 дня).

$x_1 = 60 - 2 \cdot 24 = 60 - 48 = 12$ (время работы первой бригады 12 дней).

Случай 2: Если $y_2 = 10$ (время работы второй бригады 10 дней).

$x_2 = 60 - 2 \cdot 10 = 60 - 20 = 40$ (время работы первой бригады 40 дней).

Оба решения удовлетворяют условиям задачи, так как проверка (как было показано при решении) подтверждает их правильность. Таким образом, задача имеет два возможных ответа.

Ответ: Существует два возможных варианта: первая бригада может выполнить задание за 12 дней, а вторая — за 24 дня; либо первая бригада может выполнить задание за 40 дней, а вторая — за 10 дней.