Номер 489, страница 143 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

489. Два автомобиля выехали одновременно из одного пункта в одном направлении. Скорость первого автомобиля 50 км/ч, а второго – 40 км/ч. Через 0,5 ч из того же пункта в том же направлении выехал третий автомобиль, который обогнал первый на 1,5 ч позже, чем второй. Найдите скорость третьего автомобиля.

Обозначим скорость третьего автомобиля как $x$ км/ч. Скорости первого и второго автомобилей известны: $v_1 = 50$ км/ч и $v_2 = 40$ км/ч.

Примем за точку отсчета времени ($t=0$) момент, когда первые два автомобиля выехали из пункта A. Третий автомобиль выехал из того же пункта A через 0,5 часа, то есть в момент времени $t = 0.5$ ч. Его время в пути в любой момент $t$ будет равно $(t - 0.5)$ ч.

Пусть третий автомобиль догоняет второй в момент времени $t_2$. К этому моменту второй автомобиль проедет расстояние $S_2 = v_2 \cdot t_2 = 40t_2$. Третий автомобиль к этому же моменту времени $t_2$ проедет расстояние $S_3 = x \cdot (t_2 - 0.5)$. В момент обгона их расстояния от пункта A равны:

$40t_2 = x(t_2 - 0.5)$

$40t_2 = xt_2 - 0.5x$

$xt_2 - 40t_2 = 0.5x$

$t_2(x - 40) = 0.5x$

$t_2 = \frac{0.5x}{x - 40}$

Пусть третий автомобиль догоняет первый в момент времени $t_1$. К этому моменту первый автомобиль проедет расстояние $S_1 = v_1 \cdot t_1 = 50t_1$. Третий автомобиль проедет $S_3 = x \cdot (t_1 - 0.5)$. В момент обгона их расстояния равны:

$50t_1 = x(t_1 - 0.5)$

$50t_1 = xt_1 - 0.5x$

$xt_1 - 50t_1 = 0.5x$

$t_1(x - 50) = 0.5x$

$t_1 = \frac{0.5x}{x - 50}$

По условию задачи, третий автомобиль обогнал первый на 1,5 часа позже, чем второй. Это значит, что $t_1 = t_2 + 1.5$. Подставим в это уравнение найденные выражения для $t_1$ и $t_2$:

$\frac{0.5x}{x - 50} = \frac{0.5x}{x - 40} + 1.5$

Для решения этого уравнения перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть:

$\frac{0.5x}{x - 50} - \frac{0.5x}{x - 40} = 1.5$

Вынесем $0.5x$ за скобки и приведем дроби к общему знаменателю:

$0.5x \left( \frac{1}{x - 50} - \frac{1}{x - 40} \right) = 1.5$

$0.5x \left( \frac{(x - 40) - (x - 50)}{(x - 50)(x - 40)} \right) = 1.5$

$0.5x \left( \frac{x - 40 - x + 50}{(x - 50)(x - 40)} \right) = 1.5$

$0.5x \left( \frac{10}{x^2 - 90x + 2000} \right) = 1.5$

$\frac{5x}{x^2 - 90x + 2000} = 1.5$

Теперь умножим обе части на знаменатель, при условии что $x \neq 40$ и $x \neq 50$:

$5x = 1.5(x^2 - 90x + 2000)$

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:

$10x = 3(x^2 - 90x + 2000)$

$10x = 3x^2 - 270x + 6000$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$3x^2 - 270x - 10x + 6000 = 0$

$3x^2 - 280x + 6000 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-280)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 6000 = 78400 - 72000 = 6400$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{280 + \sqrt{6400}}{2 \cdot 3} = \frac{280 + 80}{6} = \frac{360}{6} = 60$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{280 - \sqrt{6400}}{2 \cdot 3} = \frac{280 - 80}{6} = \frac{200}{6} = \frac{100}{3} = 33 \frac{1}{3}$

По смыслу задачи, чтобы третий автомобиль смог обогнать первый и второй, его скорость должна быть больше их скоростей, т.е. $x > 50$ км/ч. Корень $x_2 = 33 \frac{1}{3}$ км/ч не удовлетворяет этому условию, поэтому он является посторонним. Корень $x_1 = 60$ км/ч удовлетворяет условию $x > 50$.

Ответ: скорость третьего автомобиля 60 км/ч.