Номер 496, страница 144 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

496. В двух сплавах массы меди и цинка относятся как $5:2$ и $3:4$. Сколько килограммов первого сплава и сколько килограммов второго надо взять, чтобы, переплавив их, получить 28 кг нового сплава с равным содержанием меди и цинка?

Для решения задачи составим систему уравнений.

Пусть $x$ кг — масса первого сплава, а $y$ кг — масса второго сплава, которые необходимо взять. По условию, общая масса нового сплава равна 28 кг, следовательно, первое уравнение системы:

$x + y = 28$

Определим содержание меди в каждом сплаве. В первом сплаве соотношение меди и цинка 5:2, значит, массовая доля меди составляет $\frac{5}{5+2} = \frac{5}{7}$. Во втором сплаве соотношение 3:4, значит, массовая доля меди составляет $\frac{3}{3+4} = \frac{3}{7}$.

Масса меди в $x$ кг первого сплава равна $\frac{5}{7}x$ кг.

Масса меди в $y$ кг второго сплава равна $\frac{3}{7}y$ кг.

В итоговом сплаве массой 28 кг содержание меди и цинка должно быть равным, то есть по $\frac{28}{2} = 14$ кг каждого металла. Общая масса меди в новом сплаве складывается из массы меди из первого и второго сплавов. Это дает нам второе уравнение:

$\frac{5}{7}x + \frac{3}{7}y = 14$

Получаем систему уравнений:

$$\begin{cases}x + y = 28 \\\frac{5}{7}x + \frac{3}{7}y = 14\end{cases}$$

Умножим второе уравнение на 7, чтобы избавиться от дробей:

$5x + 3y = 98$

Теперь система выглядит так:

$$\begin{cases}x + y = 28 \\5x + 3y = 98\end{cases}$$

Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 28 - x$

Подставим это выражение во второе уравнение:

$5x + 3(28 - x) = 98$

Раскроем скобки и решим уравнение:

$5x + 84 - 3x = 98$

$2x = 98 - 84$

$2x = 14$

$x = 7$

Теперь найдем $y$:

$y = 28 - 7 = 21$

Таким образом, нужно взять 7 кг первого сплава и 21 кг второго сплава.

Проверим содержание цинка. Массовая доля цинка в первом сплаве $\frac{2}{7}$, во втором — $\frac{4}{7}$.

Масса цинка в 7 кг первого сплава: $7 \cdot \frac{2}{7} = 2$ кг.

Масса цинка в 21 кг второго сплава: $21 \cdot \frac{4}{7} = 12$ кг.

Общая масса цинка: $2 + 12 = 14$ кг.

Общая масса меди: $\frac{5}{7} \cdot 7 + \frac{3}{7} \cdot 21 = 5 + 9 = 14$ кг.

Содержание меди и цинка в новом сплаве действительно равны. Общая масса: $14 + 14 = 28$ кг. Решение верное.

Ответ: нужно взять 7 кг первого сплава и 21 кг второго сплава.