Номер 502, страница 145 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

502. Расстояние между пристанями $A$ и $B$ равно 28 км. Отчалив от пристани $A$ против течения в направлении пристани $B$, через 2 ч после начала движения катер встретил плот, отправленный от пристани $B$ по течению реки за 2 ч до начала движения катера. Найдите скорость течения реки и собственную скорость катера, если катер проходит расстояние от пристани $A$ до пристани $B$ и возвращается обратно за 4 ч 48 мин.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $v_к$ — собственная скорость катера в км/ч, а $v_т$ — скорость течения реки в км/ч. Расстояние между пристанями А и В равно $S = 28$ км.

Из условия следует, что катер отправился от пристани А против течения в направлении пристани В. Это означает, что течение реки направлено от В к А. Тогда скорость катера против течения составляет $(v_к - v_т)$ км/ч, а скорость катера по течению — $(v_к + v_т)$ км/ч. Скорость плота, плывущего по течению, равна скорости течения, то есть $v_т$ км/ч.

Рассмотрим первое условие: встречу катера и плота. Катер вышел из А и двигался в течение 2 часов до встречи. За это время он прошел расстояние $S_к = 2 \cdot (v_к - v_т)$ км. Плот был отправлен от пристани В за 2 часа до начала движения катера. Следовательно, к моменту встречи с катером он находился в пути $2 + 2 = 4$ часа. За это время плот прошел расстояние $S_п = 4 \cdot v_т$ км. Поскольку они двигались навстречу друг другу из пунктов А и В, суммарное пройденное ими расстояние равно расстоянию между пристанями:

$S_к + S_п = S$

$2(v_к - v_т) + 4v_т = 28$

Раскроем скобки и упростим уравнение:

$2v_к - 2v_т + 4v_т = 28$

$2v_к + 2v_т = 28$

Разделим обе части уравнения на 2:

$v_к + v_т = 14$

Это наше первое уравнение. Оно показывает, что скорость катера по течению равна 14 км/ч.

Теперь рассмотрим второе условие: катер проходит расстояние от А до В и возвращается обратно за 4 ч 48 мин. Сначала переведем время в часы: $48 \text{ мин} = \frac{48}{60} \text{ ч} = \frac{4}{5} \text{ ч} = 0.8$ ч. Общее время в пути $T = 4 + 0.8 = 4.8$ ч.

Время, затраченное на путь от А до В (против течения), равно $t_{АВ} = \frac{S}{v_к - v_т} = \frac{28}{v_к - v_т}$.

Время, затраченное на обратный путь от В до А (по течению), равно $t_{ВА} = \frac{S}{v_к + v_т} = \frac{28}{v_к + v_т}$.

Общее время равно сумме времен туда и обратно:

$t_{АВ} + t_{ВА} = T$

$\frac{28}{v_к - v_т} + \frac{28}{v_к + v_т} = 4.8$

Это наше второе уравнение. Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} v_к + v_т = 14 \\ \frac{28}{v_к - v_т} + \frac{28}{v_к + v_т} = 4.8 \end{cases}$

Подставим значение $v_к + v_т = 14$ из первого уравнения во второе:

$\frac{28}{v_к - v_т} + \frac{28}{14} = 4.8$

$\frac{28}{v_к - v_т} + 2 = 4.8$

$\frac{28}{v_к - v_т} = 4.8 - 2$

$\frac{28}{v_к - v_т} = 2.8$

Отсюда находим выражение для скорости катера против течения:

$v_к - v_т = \frac{28}{2.8} = 10$

Теперь у нас есть более простая система линейных уравнений:

$\begin{cases} v_к + v_т = 14 \\ v_к - v_т = 10 \end{cases}$

Сложим эти два уравнения:

$(v_к + v_т) + (v_к - v_т) = 14 + 10$

$2v_к = 24$

$v_к = 12$

Подставим найденное значение $v_к = 12$ в первое уравнение системы:

$12 + v_т = 14$

$v_т = 14 - 12$

$v_т = 2$

Таким образом, мы нашли искомые скорости.

Ответ: скорость течения реки равна 2 км/ч, а собственная скорость катера — 12 км/ч.