Номер 503, страница 145 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

503. Из пункта $A$ в пункт $B$ вышел товарный поезд. Через $5$ ч из пункта $B$ в пункт $A$ вышел пассажирский поезд. Встретились они в пункте $C$. От $C$ до $B$ товарный поезд шёл $4$ ч, а пассажирский от $C$ до $A$ – $6$ ч. За сколько часов каждый поезд может преодолеть путь между $A$ и $B$?

Для решения задачи введем следующие обозначения:
$v_т$ – скорость товарного поезда;
$v_п$ – скорость пассажирского поезда;
$t_т$ – время, которое товарный поезд ехал от пункта А до пункта встречи С;
$t_п$ – время, которое пассажирский поезд ехал от пункта В до пункта встречи С.

Из условия известно, что после встречи в пункте С товарный поезд ехал до пункта В 4 часа, а пассажирский поезд ехал до пункта А 6 часов. Расстояние, которое проехал каждый поезд после встречи, можно выразить так:
Расстояние от С до В: $S_{СВ} = v_т \cdot 4$
Расстояние от С до А: $S_{СА} = v_п \cdot 6$

До момента встречи товарный поезд проехал расстояние $S_{СА}$ за время $t_т$, а пассажирский поезд проехал расстояние $S_{СВ}$ за время $t_п$. Таким образом, мы можем записать:
$S_{СА} = v_т \cdot t_т$
$S_{СВ} = v_п \cdot t_п$

Теперь мы можем составить систему уравнений, приравняв выражения для одинаковых отрезков пути:
$v_т \cdot t_т = v_п \cdot 6$
$v_т \cdot 4 = v_п \cdot t_п$

Выразим отношение скоростей $\frac{v_т}{v_п}$ из каждого уравнения:
Из первого: $\frac{v_т}{v_п} = \frac{6}{t_т}$
Из второго: $\frac{v_т}{v_п} = \frac{t_п}{4}$

Приравняем правые части полученных выражений:
$\frac{6}{t_т} = \frac{t_п}{4}$
Перемножив крайние и средние члены пропорции, получим:
$t_т \cdot t_п = 6 \cdot 4 = 24$

В условии сказано, что пассажирский поезд вышел из пункта В на 5 часов позже, чем товарный из пункта А. Это значит, что до момента встречи товарный поезд был в пути на 5 часов дольше:
$t_т = t_п + 5$

Подставим это соотношение в уравнение $t_т \cdot t_п = 24$:
$(t_п + 5) \cdot t_п = 24$
$t_п^2 + 5t_п - 24 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Решим его. По теореме Виета, сумма корней равна -5, а произведение -24. Этим условиям удовлетворяют числа -8 и 3. Так как время не может быть отрицательной величиной, выбираем корень $t_п = 3$.
Время движения пассажирского поезда до встречи $t_п = 3$ часа.
Теперь найдем время движения товарного поезда до встречи:
$t_т = t_п + 5 = 3 + 5 = 8$ часов.

Зная время движения каждого поезда до и после встречи, мы можем найти общее время, которое требуется каждому поезду на весь путь.

За сколько часов товарный поезд может преодолеть путь между А и В?
Полное время движения товарного поезда складывается из времени пути от А до С ($t_т$) и времени пути от С до В (4 часа).
$T_т = t_т + 4 \text{ ч} = 8 \text{ ч} + 4 \text{ ч} = 12 \text{ ч}$.
Ответ: 12 часов.

За сколько часов пассажирский поезд может преодолеть путь между А и В?
Полное время движения пассажирского поезда складывается из времени пути от В до С ($t_п$) и времени пути от С до А (6 часов).
$T_п = t_п + 6 \text{ ч} = 3 \text{ ч} + 6 \text{ ч} = 9 \text{ ч}$.
Ответ: 9 часов.