Номер 504, страница 145 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

504. К баку ёмкостью $500 \text{ м}^3$ подведены три трубы. В течение некоторого времени в бак, который сначала был пустым, подавали воду только через первую трубу. Потом первую трубу закрыли и открыли две другие трубы, через которые подавали воду в бак до полного его заполнения. Известно, что вторая и третья трубы были открыты в два раза дольше, чем первая труба. Если бы вторая и третья трубы были открыты 12 ч 30 мин, то через них было бы подано столько же воды, сколько через первую трубу. Сколько времени была открыта первая труба, если известно, что через неё в бассейн ежеминутно поступало 300 л воды?

Для решения задачи введем переменные, приведем все единицы измерения к единой системе (литры и минуты) и составим систему уравнений.

1. Введение переменных и перевод единиц

Пусть $t_1$ — время в минутах, в течение которого была открыта первая труба. Это искомая величина.
Производительность первой трубы $P_1 = 300$ л/мин.
Объем воды, поданный через первую трубу: $V_1 = P_1 \cdot t_1 = 300t_1$.
Время, в течение которого были открыты вторая и третья трубы, $t_{23}$. По условию, $t_{23} = 2t_1$.
Пусть $P_{23}$ — суммарная производительность второй и третьей труб (в л/мин).
Объем воды, поданный через вторую и третью трубы: $V_{23} = P_{23} \cdot t_{23} = P_{23} \cdot 2t_1$.
Общий объем бака: $V_{общ} = 500 \text{ м}^3$. Переведем в литры, зная, что $1 \text{ м}^3 = 1000 \text{ л}$:
$V_{общ} = 500 \times 1000 = 500 \ 000 \text{ л}$.

2. Составление системы уравнений

Первое уравнение следует из того, что суммарный объем воды, поданный через все трубы, равен объему бака:
$V_1 + V_{23} = V_{общ}$
$300t_1 + P_{23} \cdot 2t_1 = 500 \ 000$ (1)

Второе уравнение составим из дополнительного условия: "Если бы вторая и третья трубы были открыты 12 ч 30 мин, то через них было бы подано столько же воды, сколько через первую трубу".
Переведем время в минуты: $12 \text{ ч } 30 \text{ мин} = 12 \times 60 + 30 = 720 + 30 = 750 \text{ мин}$.
Объем воды, который подали бы вторая и третья трубы за это время, равен $P_{23} \cdot 750$.
Этот объем равен объему $V_1$, поданному через первую трубу:
$P_{23} \cdot 750 = V_1 = 300t_1$ (2)

3. Решение системы уравнений

У нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными ($t_1$ и $P_{23}$):
1) $300t_1 + 2P_{23}t_1 = 500 \ 000$
2) $750P_{23} = 300t_1$

Выразим $P_{23}$ из второго уравнения:
$P_{23} = \frac{300t_1}{750} = \frac{30}{75}t_1 = \frac{2}{5}t_1$

Теперь подставим это выражение для $P_{23}$ в первое уравнение:
$300t_1 + 2 \cdot \left(\frac{2}{5}t_1\right) \cdot t_1 = 500 \ 000$
$300t_1 + \frac{4}{5}t_1^2 = 500 \ 000$

Мы получили квадратное уравнение относительно $t_1$. Приведем его к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$.
$\frac{4}{5}t_1^2 + 300t_1 - 500 \ 000 = 0$
Умножим все уравнение на 5, чтобы избавиться от дроби:
$4t_1^2 + 1500t_1 - 2 \ 500 \ 000 = 0$
Разделим все уравнение на 4 для упрощения:
$t_1^2 + 375t_1 - 625 \ 000 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = 375^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-625 \ 000) = 140 \ 625 + 2 \ 500 \ 000 = 2 \ 640 \ 625$
$\sqrt{D} = \sqrt{2 \ 640 \ 625} = 1625$

Найдем корни уравнения:
$t_1 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-375 \pm 1625}{2}$
Первый корень: $t_{1,1} = \frac{-375 + 1625}{2} = \frac{1250}{2} = 625$
Второй корень: $t_{1,2} = \frac{-375 - 1625}{2} = \frac{-2000}{2} = -1000$

Поскольку время не может быть отрицательной величиной, выбираем положительный корень: $t_1 = 625$ минут.

4. Формулировка ответа

Время работы первой трубы составляет 625 минут. Переведем это значение в часы и минуты для наглядности:
$625 \text{ мин} = 600 \text{ мин} + 25 \text{ мин} = 10 \text{ часов } 25 \text{ минут}$.
Ответ: Первая труба была открыта 625 минут, или 10 часов 25 минут.