Номер 511, страница 146 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

511. Солдат, прибывших на парад, планировали выстроить так, чтобы в каждом ряду стояло по 24 солдата. По прибытии оказалось, что не все они смогут участвовать в параде, поэтому их выстроили так, что рядов стало на 2 меньше, чем планировалось, а количество человек в ряду – на 26 больше, чем новое количество рядов. Сколько солдат прибыло на парад, если известно, что если бы все они участвовали в параде, то их можно было бы построить так, чтобы количество рядов было равным количеству человек в ряду?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $N_{приб}$ — общее количество солдат, прибывших на парад, а $r_{план}$ — планировавшееся количество рядов.

Согласно первоначальному плану, в каждом ряду должно было быть по 24 солдата. Таким образом, общее количество прибывших солдат можно выразить формулой:

$N_{приб} = 24 \cdot r_{план}$

Из условия известно, что если бы все прибывшие солдаты участвовали в параде, их можно было бы построить так, чтобы количество рядов было равно количеству человек в ряду. Это означает, что общее количество прибывших солдат $N_{приб}$ является полным квадратом некоторого целого числа $k$.

$N_{приб} = k^2$

Следовательно, $24 \cdot r_{план} = k^2$. Разложим число 24 на простые множители: $24 = 2^3 \cdot 3^1$. Чтобы произведение $24 \cdot r_{план}$ было полным квадратом, все степени в его разложении на простые множители должны быть четными. Это значит, что $r_{план}$ должен содержать множители $2^1$ и $3^1$, чтобы уравнять степени. Таким образом, $r_{план}$ должен иметь вид $r_{план} = 2 \cdot 3 \cdot m^2 = 6m^2$, где $m$ — некоторое натуральное число.

Далее рассмотрим новое построение. Оказалось, что не все солдаты смогли участвовать. Их построили следующим образом:

Новое количество рядов: $r_{нов} = r_{план} - 2$.

Новое количество человек в ряду: $s_{нов} = r_{нов} + 26 = (r_{план} - 2) + 26 = r_{план} + 24$.

Количество солдат, принявших участие в параде, $N_{участ}$, равно:

$N_{участ} = r_{нов} \cdot s_{нов} = (r_{план} - 2)(r_{план} + 24)$.

Поскольку в параде участвовали не все солдаты, то $N_{участ} < N_{приб}$. Составим и решим неравенство:

$(r_{план} - 2)(r_{план} + 24) < 24 \cdot r_{план}$

Раскроем скобки и упростим:

$r_{план}^2 + 24r_{план} - 2r_{план} - 48 < 24r_{план}$

$r_{план}^2 + 22r_{план} - 48 < 24r_{план}$

$r_{план}^2 - 2r_{план} - 48 < 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 2x - 48 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни $x_1 = 8$ и $x_2 = -6$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется между корнями: $-6 < r_{план} < 8$.

Теперь объединим все известные нам условия для $r_{план}$. Во-первых, $r_{план}$ — это количество рядов, значит, это целое положительное число. Во-вторых, так как $r_{нов} = r_{план} - 2$, и $r_{нов}$ тоже должно быть целым положительным числом, то $r_{план} - 2 > 0$, откуда $r_{план} > 2$. В-третьих, из решенного неравенства мы получили, что $r_{план} < 8$. И в-четвертых, из условия о полном квадрате мы знаем, что $r_{план} = 6m^2$, где $m$ — натуральное число ($m \ge 1$).

Нам нужно найти такое натуральное число $m$, чтобы выполнялось $2 < 6m^2 < 8$.

При $m=1$, $r_{план} = 6 \cdot 1^2 = 6$. Это значение удовлетворяет неравенству $2 < 6 < 8$.

При $m=2$, $r_{план} = 6 \cdot 2^2 = 24$. Это значение не удовлетворяет условию $r_{план} < 8$. При больших значениях $m$ результат будет еще больше.

Следовательно, единственно возможным значением является $r_{план} = 6$.

Теперь мы можем найти общее количество солдат, прибывших на парад:

$N_{приб} = 24 \cdot r_{план} = 24 \cdot 6 = 144$.

Проверим: $144 = 12^2$, что является полным квадратом. Количество участников парада составило бы $(6-2)(6+24) = 4 \cdot 30 = 120$ солдат, что меньше 144. Все условия задачи выполнены.

Ответ: 144.