Номер 514, страница 146 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

514. Решите неравенство:

1) $(3x - 2)^2 - (3x - 1)(2x + 3) < 3x(x - 7);$

2) $-3x^2 - 10x + 48 \leq 0.$

1) Решим неравенство $(3x - 2)^2 - (3x - 1)(2x + 3) < 3x(x - 7)$.
Для начала раскроем все скобки и упростим выражение.
Раскроем квадрат разности по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(3x - 2)^2 = (3x)^2 - 2 \cdot 3x \cdot 2 + 2^2 = 9x^2 - 12x + 4$.
Раскроем произведение двух скобок:
$(3x - 1)(2x + 3) = 3x \cdot 2x + 3x \cdot 3 - 1 \cdot 2x - 1 \cdot 3 = 6x^2 + 9x - 2x - 3 = 6x^2 + 7x - 3$.
Раскроем скобки в правой части неравенства:
$3x(x - 7) = 3x^2 - 21x$.
Подставим полученные выражения в исходное неравенство:
$(9x^2 - 12x + 4) - (6x^2 + 7x - 3) < 3x^2 - 21x$.
Раскроем скобки, обращая внимание на знак минус перед второй скобкой:
$9x^2 - 12x + 4 - 6x^2 - 7x + 3 < 3x^2 - 21x$.
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$(9x^2 - 6x^2) + (-12x - 7x) + (4 + 3) < 3x^2 - 21x$.
$3x^2 - 19x + 7 < 3x^2 - 21x$.
Теперь перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а числовые слагаемые — в другую. Заметим, что $3x^2$ в обеих частях взаимно уничтожаются.
$-19x + 21x < -7$.
$2x < -7$.
Разделим обе части неравенства на 2:
$x < -\frac{7}{2}$.
$x < -3.5$.
Решение можно записать в виде интервала.
Ответ: $x \in (-\infty; -3.5)$.

2) Решим неравенство $-3x^2 - 10x + 48 \le 0$.
Это квадратичное неравенство. Для его решения сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения: $-3x^2 - 10x + 48 = 0$.
Для удобства умножим обе части уравнения на -1:
$3x^2 + 10x - 48 = 0$.
Найдем корни с помощью дискриминанта. Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.
$D = 10^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-48) = 100 + 576 = 676$.
$\sqrt{D} = \sqrt{676} = 26$.
Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-10 - 26}{2 \cdot 3} = \frac{-36}{6} = -6$.
$x_2 = \frac{-10 + 26}{2 \cdot 3} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}$.
Теперь вернемся к неравенству $-3x^2 - 10x + 48 \le 0$. Графиком функции $y = -3x^2 - 10x + 48$ является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ отрицательный ($-3 < 0$), ветви параболы направлены вниз.
Парабола пересекает ось абсцисс в точках $x = -6$ и $x = \frac{8}{3}$.
Нам нужно найти значения $x$, при которых $y \le 0$, то есть где график параболы находится на оси Ox или ниже нее. Поскольку ветви параболы направлены вниз, это происходит на двух промежутках: слева от меньшего корня и справа от большего корня.
Таким образом, решение неравенства: $x \le -6$ или $x \ge \frac{8}{3}$.
Запишем решение в виде объединения промежутков. Так как неравенство нестрогое ($\le$), то точки $x=-6$ и $x=\frac{8}{3}$ включаются в решение.
Ответ: $x \in (-\infty; -6] \cup [\frac{8}{3}; +\infty)$.