Номер 515, страница 146 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

515. Расположите в порядке возрастания числа $\sqrt{32}$, $\sqrt{30}$, $4\sqrt{3}$, $\frac{1}{2}\sqrt{54}$, $5\sqrt{2}$.

Для того чтобы расположить данные числа в порядке возрастания, необходимо сравнить их значения. Самый удобный способ для этого — привести все числа к виду $\sqrt{a}$, внеся множители под знак корня. Это делается по правилу $b\sqrt{c} = \sqrt{b^2 \cdot c}$ для $b \ge 0$.

Выполним преобразование для каждого числа:

1. Числа $\sqrt{32}$ и $\sqrt{30}$ уже представлены в виде квадратного корня. Их подкоренные выражения равны 32 и 30.

2. Для числа $4\sqrt{3}$ внесем множитель 4 под корень:

$4\sqrt{3} = \sqrt{4^2 \cdot 3} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{48}$.

3. Для числа $\frac{1}{2}\sqrt{54}$ внесем множитель $\frac{1}{2}$ под корень:

$\frac{1}{2}\sqrt{54} = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 \cdot 54} = \sqrt{\frac{1}{4} \cdot 54} = \sqrt{\frac{54}{4}} = \sqrt{13,5}$.

4. Для числа $5\sqrt{2}$ внесем множитель 5 под корень:

$5\sqrt{2} = \sqrt{5^2 \cdot 2} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{50}$.

Теперь мы имеем следующий ряд чисел: $\sqrt{32}$, $\sqrt{30}$, $\sqrt{48}$, $\sqrt{13,5}$, $\sqrt{50}$.

Сравнение чисел, представленных в виде квадратного корня, сводится к сравнению их подкоренных выражений. Так как функция $y=\sqrt{x}$ является возрастающей, то чем больше подкоренное выражение, тем больше и значение самого корня. Расположим подкоренные выражения в порядке возрастания:

$13,5 < 30 < 32 < 48 < 50$

Следовательно, сами корни в порядке возрастания будут выглядеть так:

$\sqrt{13,5} < \sqrt{30} < \sqrt{32} < \sqrt{48} < \sqrt{50}$

Заменив преобразованные выражения на исходные числа, мы получим окончательный ответ.

Ответ: $\frac{1}{2}\sqrt{54}, \sqrt{30}, \sqrt{32}, 4\sqrt{3}, 5\sqrt{2}$.