Номер 494, страница 144 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

494. Если открыть одновременно две трубы, то бассейн будет наполнен за 12 ч. Если сначала наполнять бассейн только через первую трубу в течение 5 ч, а затем только через вторую в течение 9 ч, то водой будет наполнена половина бассейна. За сколько часов может быть наполнен бассейн отдельно через каждую трубу?

Примем весь объем бассейна за 1.

Пусть $x$ — время в часах, за которое первая труба наполняет весь бассейн. Тогда ее производительность (скорость работы) равна $\frac{1}{x}$ бассейна в час.

Пусть $y$ — время в часах, за которое вторая труба наполняет весь бассейн. Ее производительность равна $\frac{1}{y}$ бассейна в час.

Из первого условия задачи известно, что при одновременной работе обеих труб бассейн наполняется за 12 часов. Совместная производительность двух труб равна $\frac{1}{x} + \frac{1}{y}$. Таким образом, мы можем составить первое уравнение:

$12 \cdot \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right) = 1$

Отсюда следует:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12}$

Из второго условия известно, что если первая труба работает 5 часов, а затем вторая труба работает 9 часов, то будет наполнена половина бассейна. За 5 часов первая труба выполнит работу, равную $5 \cdot \frac{1}{x}$. За 9 часов вторая труба выполнит работу, равную $9 \cdot \frac{1}{y}$. Суммарно они наполняют $\frac{1}{2}$ бассейна. Это дает нам второе уравнение:

$\frac{5}{x} + \frac{9}{y} = \frac{1}{2}$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя переменными:

$\begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{12} \\ \frac{5}{x} + \frac{9}{y} = \frac{1}{2} \end{cases}$

Для удобства решения введем новые переменные: пусть $a = \frac{1}{x}$ и $b = \frac{1}{y}$. Система примет вид:

$\begin{cases} a + b = \frac{1}{12} \\ 5a + 9b = \frac{1}{2} \end{cases}$

Выразим $a$ из первого уравнения: $a = \frac{1}{12} - b$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$5\left(\frac{1}{12} - b\right) + 9b = \frac{1}{2}$

$\frac{5}{12} - 5b + 9b = \frac{1}{2}$

$4b = \frac{1}{2} - \frac{5}{12}$

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю:

$4b = \frac{6}{12} - \frac{5}{12}$

$4b = \frac{1}{12}$

$b = \frac{1}{12 \cdot 4} = \frac{1}{48}$

Теперь найдем $a$:

$a = \frac{1}{12} - b = \frac{1}{12} - \frac{1}{48} = \frac{4}{48} - \frac{1}{48} = \frac{3}{48} = \frac{1}{16}$

Сделаем обратную замену:

Так как $a = \frac{1}{x}$, то $\frac{1}{16} = \frac{1}{x}$, откуда $x = 16$.

Так как $b = \frac{1}{y}$, то $\frac{1}{48} = \frac{1}{y}$, откуда $y = 48$.

Следовательно, первая труба может наполнить бассейн за 16 часов, а вторая — за 48 часов.

Ответ: первая труба может наполнить бассейн за 16 часов, вторая труба — за 48 часов.