Номер 488, страница 143 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

488. Из одного города в другой, расстояние между которыми равно 240 км, выехали одновременно автобус и автомобиль. Автобус прибыл в пункт назначения на 1 ч позже автомобиля. Найдите скорости автомобиля и автобуса, если за 2 ч автобус проезжает на 40 км больше, чем автомобиль за 1 ч.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $v_a$ — скорость автомобиля в км/ч, а $v_b$ — скорость автобуса в км/ч.

Расстояние между городами составляет $S = 240$ км.

Время, которое автомобиль затратил на путь, равно $t_a = \frac{S}{v_a} = \frac{240}{v_a}$ ч.

Время, которое автобус затратил на путь, равно $t_b = \frac{S}{v_b} = \frac{240}{v_b}$ ч.

Из условия известно, что автобус прибыл на 1 час позже автомобиля. Это означает, что время автобуса в пути на 1 час больше, чем время автомобиля. Составим первое уравнение: $t_b - t_a = 1$

$\frac{240}{v_b} - \frac{240}{v_a} = 1$

Также из условия известно, что за 2 часа автобус проезжает на 40 км больше, чем автомобиль за 1 час. Расстояние, которое проезжает автобус за 2 часа, равно $2 \cdot v_b$. Расстояние, которое проезжает автомобиль за 1 час, равно $1 \cdot v_a$. Составим второе уравнение:

$2v_b = v_a + 40$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$ \begin{cases} \frac{240}{v_b} - \frac{240}{v_a} = 1 \\ 2v_b = v_a + 40 \end{cases} $

Выразим $v_b$ из второго уравнения:

$v_b = \frac{v_a + 40}{2}$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$\frac{240}{\frac{v_a + 40}{2}} - \frac{240}{v_a} = 1$

Упростим первое слагаемое:

$\frac{240 \cdot 2}{v_a + 40} - \frac{240}{v_a} = 1$

$\frac{480}{v_a + 40} - \frac{240}{v_a} = 1$

Приведем левую часть к общему знаменателю $v_a(v_a + 40)$:

$\frac{480v_a - 240(v_a + 40)}{v_a(v_a + 40)} = 1$

$480v_a - 240v_a - 9600 = v_a(v_a + 40)$

$240v_a - 9600 = v_a^2 + 40v_a$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$v_a^2 + 40v_a - 240v_a + 9600 = 0$

$v_a^2 - 200v_a + 9600 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-200)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9600 = 40000 - 38400 = 1600$

$\sqrt{D} = \sqrt{1600} = 40$

Найдем два возможных значения для скорости автомобиля $v_a$:

$v_{a1} = \frac{-(-200) + 40}{2 \cdot 1} = \frac{240}{2} = 120$ (км/ч)

$v_{a2} = \frac{-(-200) - 40}{2 \cdot 1} = \frac{160}{2} = 80$ (км/ч)

Теперь для каждого значения скорости автомобиля найдем соответствующую скорость автобуса.

Случай 1:

Если $v_a = 120$ км/ч, то скорость автобуса:

$v_b = \frac{120 + 40}{2} = \frac{160}{2} = 80$ (км/ч)

Проверим условие по времени:

$t_a = \frac{240}{120} = 2$ ч

$t_b = \frac{240}{80} = 3$ ч

$t_b - t_a = 3 - 2 = 1$ ч. Условие выполняется.

Случай 2:

Если $v_a = 80$ км/ч, то скорость автобуса:

$v_b = \frac{80 + 40}{2} = \frac{120}{2} = 60$ (км/ч)

Проверим условие по времени:

$t_a = \frac{240}{80} = 3$ ч

$t_b = \frac{240}{60} = 4$ ч

$t_b - t_a = 4 - 3 = 1$ ч. Условие также выполняется.

Задача имеет два возможных решения.

Ответ: Скорость автомобиля 120 км/ч и скорость автобуса 80 км/ч, либо скорость автомобиля 80 км/ч и скорость автобуса 60 км/ч.