Страница 143 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Что называют математической моделью задачи?

1. Что называют математической моделью задачи?

Математическая модель задачи — это описание реальной (нематематической) ситуации или проблемы с помощью математического языка. Это способ представить взаимосвязи между объектами и процессами реального мира в виде математических объектов и соотношений: уравнений, неравенств, функций, систем уравнений, графиков, геометрических фигур и т.д.

Основная цель создания математической модели — упростить сложную реальную ситуацию до такой степени, чтобы ее можно было исследовать с помощью точных математических методов. Решив математическую задачу, мы получаем результат, который затем интерпретируется и применяется к исходной реальной ситуации для ее понимания, прогнозирования или решения.

Процесс создания и использования математической модели (математическое моделирование) обычно включает три основных этапа:

1. Построение модели. На этом этапе происходит перевод условия задачи с обычного языка на язык математики. Выделяются ключевые величины, вводятся переменные, формулируются предположения и ограничения, и устанавливаются связи между величинами в виде формул, уравнений или других математических конструкций.
2. Работа с моделью. На этом этапе проводится решение полученной математической задачи: решаются уравнения или системы, исследуются функции, находятся оптимальные значения и т.д. Это чисто математическая часть процесса.
3. Интерпретация результата. Полученный математический результат переводится обратно на язык исходной задачи. Делается вывод о реальной ситуации, которая моделировалась. Важно проверить, является ли полученный ответ осмысленным и реалистичным. Если нет, модель может потребовать уточнения.

Пример:

Задача: Из пункта А в пункт Б, расстояние между которыми 200 км, выехал автомобиль. С какой скоростью он должен двигаться, чтобы преодолеть этот путь за 4 часа?

Математическая модель этой задачи:

1. Построение модели: Введем переменные. Пусть $S$ — расстояние (км), $v$ — скорость (км/ч), $t$ — время (ч). Связь между этими величинами известна из физики: $S = v \cdot t$. В нашем случае $S = 200$ км, $t = 4$ ч. Нам нужно найти $v$. Математической моделью является уравнение: $200 = v \cdot 4$.

2. Работа с моделью: Решаем это уравнение относительно $v$. $v = \frac{200}{4}$. $v = 50$.

3. Интерпретация результата: Скорость автомобиля должна быть 50 км/ч. Этот результат является реалистичным для автомобиля.

Таким образом, математическая модель — это мощный инструмент, позволяющий применять математические знания для решения широкого круга практических задач из физики, экономики, биологии, социологии и других областей.

Ответ: Математической моделью задачи называют описание реальной ситуации с помощью математического языка (уравнений, функций, неравенств и т.д.) с целью её исследования и решения математическими методами.

2. Какую задачу называют прикладной?

Прикладной задачей называют задачу, которая возникает из практических потребностей человека в различных сферах его деятельности (в быту, науке, технике, экономике и т.д.) и требует применения теоретических знаний, чаще всего математических, для своего решения. В отличие от абстрактных (или теоретических) задач, которые рассматриваются внутри самой науки ради развития её теории, прикладные задачи направлены на получение конкретного, практически значимого результата.

Решение прикладной задачи обычно проходит в несколько этапов, которые вместе составляют процесс математического моделирования:

1. Построение математической модели. На этом этапе происходит «перевод» реальной ситуации с обыденного языка на язык математики. Определяются ключевые объекты, их свойства и отношения между ними. Исходные данные и искомые величины представляются в виде переменных и параметров. Сложная реальная ситуация упрощается, отбрасываются несущественные детали, и в итоге получается математическая модель (например, уравнение, система уравнений, функция, геометрическая фигура).

Пример: Задача — рассчитать, хватит ли рулона обоев для оклейки стены. Модель — стена представляется в виде прямоугольника, нужно найти его площадь по формуле $S = a \cdot b$, где $a$ — длина, а $b$ — высота стены. Площадь обоев в рулоне также известна.

2. Внутримодельное решение. На этом этапе решается уже чисто математическая задача, полученная на первом шаге. Используются известные формулы, алгоритмы, теоремы и методы для нахождения искомой величины. На этом шаге мы работаем исключительно с математической моделью, отвлекаясь от её реального содержания.

Пример: Измеряем стену: $a = 4$ м, $b = 2.5$ м. Вычисляем площадь: $S = 4 \cdot 2.5 = 10$ м².

3. Интерпретация результата. Полученный математический ответ «переводится» обратно на язык исходной практической ситуации. Ему придается конкретный смысл в контексте задачи.

Пример: Результат $10$ м² — это площадь стены, которую нужно оклеить. Сравниваем это значение с площадью обоев в рулоне (например, $5$ м²). Делаем вывод: $10 / 5 = 2$. Значит, потребуется как минимум 2 рулона обоев. Если в задаче спрашивалось, хватит ли одного рулона, то ответ — «не хватит».

Этот процесс позволяет использовать мощный аппарат математики и других точных наук для решения проблем, возникающих в повседневной жизни, инженерии, бизнесе и многих других областях.

Ответ: Прикладная задача — это задача, поставленная вне рамок определенной науки (например, математики), условие которой описывает реальную жизненную или практическую ситуацию, а для её решения необходимо построить и исследовать соответствующую научную, чаще всего математическую, модель.

3. Что называют математическим моделированием?

Математическое моделирование — это процесс описания реального мира (объектов, систем, процессов, явлений) с помощью математического языка с целью его исследования и прогнозирования. Иными словами, это создание и изучение математической модели, которая является упрощенным, формализованным представлением действительности.

Цель моделирования — не скопировать реальность во всех деталях, а выделить самые важные, ключевые свойства и связи, отбросив второстепенные. Это позволяет анализировать сложные системы, которые невозможно или слишком дорого/опасно изучать напрямую в реальном эксперименте.

Этапы математического моделирования

Процесс моделирования, как правило, является итеративным (циклическим) и состоит из нескольких основных шагов:

1. Построение модели (Формализация). На этом этапе происходит перевод реальной проблемы на язык математики. Сначала определяют цель (что мы хотим узнать?), затем выделяют главные факторы, влияющие на процесс, и пренебрегают несущественными (этот прием называется абстрагированием или идеализацией). Затем между выбранными факторами (переменными) устанавливаются математические связи — уравнения, неравенства, функции, системы и т.д. Например, падение камня можно описать уравнением движения $S = v_0 t + \frac{gt^2}{2}$, пренебрегая сопротивлением воздуха.

2. Математический анализ модели (Работа с моделью). Это работа непосредственно с полученной математической задачей: решение уравнений (аналитическое или численное), нахождение экстремумов функций, анализ свойств полученных решений. Результатом этого этапа является чисто математический вывод (например, число, формула, график).

3. Интерпретация и проверка адекватности (Валидация). Математический результат необходимо "перевести" обратно на язык реальности. Полученные выводы сравнивают с реальными данными, результатами наблюдений или экспериментов. Если предсказания модели хорошо согласуются с действительностью, модель считается адекватной. Например, если рассчитанное время падения камня практически совпадает с измеренным секундомером.

4. Модификация модели. Если проверка показала, что модель неадекватна (дает большую погрешность), ее усовершенствуют. Для этого возвращаются к первому этапу и уточняют начальные гипотезы, добавляют ранее отброшенные факторы (например, для падающего камня можно учесть сопротивление воздуха), используют более сложный математический аппарат. После этого цикл анализа повторяется.

Пример: Модель роста популяции

Простейшая модель, предложенная Мальтусом, предполагает, что скорость роста популяции $\frac{dN}{dt}$ пропорциональна ее текущей численности $N$. Математически это записывается как дифференциальное уравнение: $\frac{dN}{dt} = rN$, где $r$ — коэффициент рождаемости. Решением этого уравнения является экспоненциальная функция $N(t) = N_0 e^{rt}$, где $N_0$ — начальная численность. Эта модель хорошо работает на коротких промежутках времени, но не учитывает ограниченность ресурсов. Более сложная и адекватная модель (логистическое уравнение) добавляет фактор, ограничивающий рост: $\frac{dN}{dt} = rN \left(1 - \frac{N}{K}\right)$, где $K$ — так называемая емкость среды (максимально возможная численность популяции).

Значение математического моделирования

Моделирование является одним из ключевых методов познания в науке (физика, химия, биология), инженерии (проектирование самолетов, мостов, электроники), экономике (прогнозирование рынков), медицине (моделирование эпидемий), экологии и многих других областях. Оно позволяет:
— Прогнозировать развитие событий и явлений.
— Оптимизировать процессы и находить наилучшие решения (например, самый выгодный тариф или оптимальный маршрут).
— Глубже понимать устройство и принципы работы сложных систем.
— Проводить "виртуальные" эксперименты, когда реальные невозможны, опасны или слишком затратны.

Ответ: Математическое моделирование — это метод исследования, состоящий в замене реального объекта, процесса или системы его упрощенным аналогом — математической моделью. Дальнейшее изучение этой модели с помощью математических методов позволяет получить новую информацию об исходном объекте. Этот процесс включает в себя этапы формализации (создания модели), анализа (решения математической задачи), интерпретации и проверки адекватности полученных результатов.

4. Из каких этапов состоит решение прикладной задачи?

Решение прикладной задачи — это процесс перевода реальной жизненной ситуации на язык математики, нахождения решения в рамках математической модели и последующей интерпретации этого решения. Этот процесс можно разделить на несколько последовательных этапов.

1. Постановка задачи и анализ условия

На первом этапе происходит детальное изучение и осмысление проблемы, описанной в задаче. Необходимо четко определить, что дано и что требуется найти. Происходит отбор существенной информации и отбрасывание второстепенных деталей. Цель этого этапа — полностью понять условие и перевести его из описательной формы в более структурированную, выделив ключевые объекты, величины и связи между ними.

2. Построение математической модели

Это центральный этап, на котором осуществляется переход от реальной ситуации к ее формальному математическому описанию. Для этого:

• вводятся переменные для обозначения искомых и заданных величин;
• устанавливаются связи между этими величинами в виде уравнений, неравенств, функций, систем уравнений и т.д.;
• учитываются все ограничения, накладываемые условием задачи.

В результате создается математическая модель — упрощенное, абстрактное представление исходной задачи, с которым можно работать, используя математические методы.

3. Решение математической задачи (работа с моделью)

На этом этапе вся работа ведется исключительно в рамках построенной математической модели. Применяются соответствующие математические знания, алгоритмы, формулы и теоремы для нахождения решения полученных уравнений или систем. Это чисто математическая часть работы, на которой происходит поиск численного или качественного результата (например, нахождение корней уравнения, вычисление площади, нахождение экстремума функции).

4. Анализ полученного решения и формулировка ответа

Полученное на предыдущем этапе математическое решение необходимо интерпретировать, то есть «перевести» обратно на язык исходной прикладной задачи. На этом этапе выполняется проверка:

• соответствует ли решение реальности (например, время или длина не могут быть отрицательными, количество людей должно быть целым числом);
• не противоречит ли оно условиям задачи.

Если решение проходит проверку, формулируется окончательный, содержательный ответ на вопрос задачи. Ответ должен быть ясным, полным и, при необходимости, содержать единицы измерения.

Ответ: Решение прикладной задачи состоит из следующих основных этапов: 1) постановка задачи и анализ условия; 2) построение математической модели; 3) решение математической задачи (работа с моделью); 4) анализ полученного решения и формулировка ответа.

483. Расстояние между сёлами $M$ и $N$ равно $36$ км. Из села $N$ выехал велосипедист, а через $0,5$ ч навстречу ему из села $M$ выехал второй велосипедист, скорость которого на $6$ км/ч больше скорости первого. Найдите скорость каждого велосипедиста, если они встретились на середине пути между сёлами $M$ и $N$.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ км/ч — это скорость первого велосипедиста, который выехал из села N.

По условию, скорость второго велосипедиста, выехавшего из села M, на 6 км/ч больше скорости первого. Следовательно, его скорость равна $(x + 6)$ км/ч.

Расстояние между сёлами M и N составляет 36 км. Велосипедисты встретились на середине пути, значит, каждый из них проехал до встречи половину всего расстояния:
$S = \frac{36}{2} = 18$ км.

Время, которое затратил на свой путь первый велосипедист, можно выразить через формулу $t = \frac{S}{v}$:
$t_1 = \frac{18}{x}$ ч.

Время, которое затратил на свой путь второй велосипедист:
$t_2 = \frac{18}{x+6}$ ч.

Известно, что второй велосипедист выехал на 0,5 часа позже первого. Это означает, что первый велосипедист был в пути на 0,5 часа дольше, чем второй. На основе этого можно составить уравнение:
$t_1 - t_2 = 0.5$
$\frac{18}{x} - \frac{18}{x+6} = 0.5$.

Теперь решим это уравнение. Для начала приведем левую часть к общему знаменателю $x(x+6)$:
$\frac{18(x+6) - 18x}{x(x+6)} = 0.5$
$\frac{18x + 108 - 18x}{x^2 + 6x} = 0.5$
$\frac{108}{x^2 + 6x} = 0.5$.

Воспользуемся свойством пропорции:
$0.5(x^2 + 6x) = 108$.

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:
$x^2 + 6x = 216$.

Перенесём все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 + 6x - 216 = 0$.

Решим это уравнение с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$):
$D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-216) = 36 + 864 = 900$.
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = 30$.

Найдем два корня уравнения:
$x_1 = \frac{-6 + 30}{2} = \frac{24}{2} = 12$.
$x_2 = \frac{-6 - 30}{2} = \frac{-36}{2} = -18$.

Так как скорость не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -18$ не подходит по смыслу задачи. Значит, скорость первого велосипедиста равна 12 км/ч.

Теперь найдем скорость второго велосипедиста:
$x + 6 = 12 + 6 = 18$ км/ч.

Ответ: скорость первого велосипедиста равна 12 км/ч, а скорость второго велосипедиста — 18 км/ч.

484. Масса куска одного металла равна 336 г, а куска другого – 320 г. Объём куска первого металла на $10 \text{ см}^3$ меньше объёма второго, а плотность первого – на $2 \text{ г}/\text{см}^3$ больше плотности второго. Найдите плотность каждого металла.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ г/см³ — плотность второго металла.

Согласно условию, плотность первого металла на 2 г/см³ больше, следовательно, она равна $(x+2)$ г/см³.

Масса первого металла $m_1 = 336$ г, а масса второго — $m_2 = 320$ г.

Воспользуемся формулой, связывающей массу ($m$), объём ($V$) и плотность ($ρ$): $V = \frac{m}{ρ}$.

Выразим объёмы каждого куска металла через их плотности:

Объём первого металла: $V_1 = \frac{m_1}{ρ_1} = \frac{336}{x+2}$ см³.

Объём второго металла: $V_2 = \frac{m_2}{ρ_2} = \frac{320}{x}$ см³.

По условию, объём первого куска на 10 см³ меньше объёма второго: $V_1 = V_2 - 10$.

Подставим выражения для объёмов в это равенство и получим уравнение:

$\frac{336}{x+2} = \frac{320}{x} - 10$

Для решения этого рационального уравнения приведем его к общему знаменателю. Перенесем все члены в одну часть:

$\frac{336}{x+2} - \frac{320}{x} + 10 = 0$

Общий знаменатель для дробей — $x(x+2)$. Умножим каждый член на недостающие множители, чтобы привести к общему знаменателю:

$\frac{336x - 320(x+2) + 10x(x+2)}{x(x+2)} = 0$

Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Так как $x$ — это плотность, она должна быть положительной, поэтому $x > 0$ и знаменатель $x(x+2)$ не равен нулю. Приравняем числитель к нулю и раскроем скобки:

$336x - 320x - 640 + 10x^2 + 20x = 0$

Приведём подобные слагаемые, чтобы получить квадратное уравнение:

$10x^2 + (336 - 320 + 20)x - 640 = 0$

$10x^2 + 36x - 640 = 0$

Разделим все коэффициенты на 2 для упрощения:

$5x^2 + 18x - 320 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта ($D = b^2 - 4ac$):

$D = 18^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-320) = 324 + 6400 = 6724$

Найдём корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$\sqrt{D} = \sqrt{6724} = 82$

$x_1 = \frac{-18 + 82}{2 \cdot 5} = \frac{64}{10} = 6.4$

$x_2 = \frac{-18 - 82}{2 \cdot 5} = \frac{-100}{10} = -10$

Поскольку $x$ обозначает плотность, эта величина должна быть положительной. Следовательно, корень $x_2 = -10$ является посторонним и не подходит по смыслу задачи.

Таким образом, плотность второго металла составляет $x = 6.4$ г/см³.

Теперь найдём плотность первого металла:

$ρ_1 = x + 2 = 6.4 + 2 = 8.4$ г/см³.

Ответ: плотность первого металла — 8,4 г/см³, плотность второго металла — 6,4 г/см³.

485. Теплоход прошёл по течению реки 100 км и против течения 64 км за 9 ч. За это время он мог пройти 80 км по течению и 80 км против течения. Найдите собственную скорость теплохода.

Пусть $v_c$ км/ч — собственная скорость теплохода, а $v_т$ км/ч — скорость течения реки. Тогда скорость теплохода по течению реки равна $(v_c + v_т)$ км/ч, а скорость против течения — $(v_c - v_т)$ км/ч.

Время в пути вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость.

Из первого условия задачи известно, что теплоход прошёл 100 км по течению и 64 км против течения за 9 часов. На основе этого мы можем составить первое уравнение:

$\frac{100}{v_c + v_т} + \frac{64}{v_c - v_т} = 9$

Из второго условия известно, что за те же 9 часов теплоход мог бы пройти 80 км по течению и 80 км против течения. Составим второе уравнение:

$\frac{80}{v_c + v_т} + \frac{80}{v_c - v_т} = 9$

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными. Для удобства решения введём замену переменных. Пусть $x = \frac{1}{v_c + v_т}$ (время, за которое теплоход проходит 1 км по течению) и $y = \frac{1}{v_c - v_т}$ (время, за которое теплоход проходит 1 км против течения). Тогда система уравнений примет вид:

$\begin{cases}100x + 64y = 9 \\80x + 80y = 9\end{cases}$

Решим полученную систему. Упростим второе уравнение, разделив обе его части на 80:

$x + y = \frac{9}{80}$

Выразим $y$ через $x$:

$y = \frac{9}{80} - x$

Теперь подставим это выражение в первое уравнение системы:

$100x + 64(\frac{9}{80} - x) = 9$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$:

$100x + \frac{64 \cdot 9}{80} - 64x = 9$

$36x + \frac{576}{80} = 9$

$36x + 7.2 = 9$

$36x = 9 - 7.2$

$36x = 1.8$

$x = \frac{1.8}{36} = \frac{18}{360} = \frac{1}{20}$

Теперь найдем значение $y$:

$y = \frac{9}{80} - x = \frac{9}{80} - \frac{1}{20} = \frac{9}{80} - \frac{4}{80} = \frac{5}{80} = \frac{1}{16}$

Сделаем обратную замену:

$x = \frac{1}{v_c + v_т} = \frac{1}{20} \implies v_c + v_т = 20$

$y = \frac{1}{v_c - v_т} = \frac{1}{16} \implies v_c - v_т = 16$

Теперь у нас есть новая, более простая система уравнений:

$\begin{cases}v_c + v_т = 20 \\v_c - v_т = 16\end{cases}$

Чтобы найти собственную скорость теплохода $v_c$, сложим два уравнения этой системы:

$(v_c + v_т) + (v_c - v_т) = 20 + 16$

$2v_c = 36$

$v_c = \frac{36}{2} = 18$

Собственная скорость теплохода равна 18 км/ч.

Ответ: 18 км/ч.

486. Катер проходит 48 км против течения реки и 30 км по течению реки за 3 ч, а 15 км по течению – на 1 ч быстрее, чем 36 км против течения. Найдите собственную скорость катера и скорость течения реки.

Пусть $v_к$ км/ч — собственная скорость катера, а $v_т$ км/ч — скорость течения реки.Тогда скорость катера по течению реки равна $(v_к + v_т)$ км/ч, а скорость против течения — $(v_к - v_т)$ км/ч.

Согласно первому условию, катер проходит 48 км против течения и 30 км по течению за 3 часа. Составим первое уравнение, используя формулу времени $t = S/v$:$$ \frac{48}{v_к - v_т} + \frac{30}{v_к + v_т} = 3 $$

Согласно второму условию, 15 км по течению катер проходит на 1 час быстрее, чем 36 км против течения. Это означает, что разница во времени, затраченном на эти участки пути, равна 1 часу. Составим второе уравнение:$$ \frac{36}{v_к - v_т} - \frac{15}{v_к + v_т} = 1 $$

Получили систему двух уравнений с двумя переменными. Для упрощения решения введем новые переменные. Пусть $x = v_к + v_т$ (скорость по течению) и $y = v_к - v_т$ (скорость против течения), где $x > 0$ и $y > 0$.Система примет вид:$$ \begin{cases} \frac{48}{y} + \frac{30}{x} = 3 \\ \frac{36}{y} - \frac{15}{x} = 1 \end{cases} $$

Умножим второе уравнение системы на 2, чтобы уравнять коэффициенты при члене $\frac{15}{x}$:$$ \begin{cases} \frac{48}{y} + \frac{30}{x} = 3 \\ \frac{72}{y} - \frac{30}{x} = 2 \end{cases} $$Сложим два уравнения системы:$$ \left(\frac{48}{y} + \frac{30}{x}\right) + \left(\frac{72}{y} - \frac{30}{x}\right) = 3 + 2 $$$$ \frac{48 + 72}{y} = 5 $$$$ \frac{120}{y} = 5 $$$$ y = \frac{120}{5} = 24 $$

Подставим найденное значение $y = 24$ в любое из уравнений первоначальной упрощенной системы, например, во второе:$$ \frac{36}{24} - \frac{15}{x} = 1 $$$$ 1.5 - \frac{15}{x} = 1 $$$$ \frac{15}{x} = 1.5 - 1 $$$$ \frac{15}{x} = 0.5 $$$$ x = \frac{15}{0.5} = 30 $$

Итак, мы нашли скорость по течению $x = 30$ км/ч и скорость против течения $y = 24$ км/ч. Теперь вернемся к исходным переменным, чтобы найти собственную скорость катера и скорость течения:$$ \begin{cases} v_к + v_т = 30 \\ v_к - v_т = 24 \end{cases} $$Сложим эти два уравнения:$$ (v_к + v_т) + (v_к - v_т) = 30 + 24 $$$$ 2v_к = 54 $$$$ v_к = 27 $$Подставим значение $v_к$ в первое уравнение системы:$$ 27 + v_т = 30 $$$$ v_т = 3 $$Собственная скорость катера равна 27 км/ч, а скорость течения реки — 3 км/ч.

Ответ: собственная скорость катера — 27 км/ч, скорость течения реки — 3 км/ч.

487. Два мотоциклиста выехали одновременно из городов $A$ и $B$ навстречу друг другу. Через час они встретились и, не останавливаясь, продолжили двигаться с той же скоростью. Один из них прибыл в город $A$ на 35 мин раньше, чем второй – в город $B$. Найдите скорость каждого мотоциклиста, если расстояние между городами составляет 140 км.

Пусть $v_1$ (км/ч) — скорость первого мотоциклиста, выехавшего из города А, а $v_2$ (км/ч) — скорость второго мотоциклиста, выехавшего из города В. Расстояние между городами $S = 140$ км.

1. Составление первого уравнения.

Мотоциклисты ехали навстречу друг другу и встретились через 1 час. За это время первый мотоциклист проехал расстояние $S_1 = v_1 \cdot 1 = v_1$ км, а второй — $S_2 = v_2 \cdot 1 = v_2$ км. Вместе они проехали все расстояние между городами. Таким образом, получаем первое уравнение:

$v_1 + v_2 = 140$

2. Составление второго уравнения.

После встречи первый мотоциклист должен был проехать оставшееся расстояние, равное тому, которое проехал второй до встречи, то есть $v_2$ км. Время, которое он на это затратил: $t_1 = \frac{v_2}{v_1}$ ч.

Второй мотоциклист после встречи должен был проехать расстояние, которое проехал первый до встречи, то есть $v_1$ км. Время, которое он на это затратил: $t_2 = \frac{v_1}{v_2}$ ч.

По условию, один из них прибыл в пункт назначения на 35 минут раньше другого. Переведем 35 минут в часы: $35 \text{ мин} = \frac{35}{60} \text{ ч} = \frac{7}{12}$ ч.

Разница во времени прибытия после встречи составляет $\frac{7}{12}$ часа. Это означает, что $|t_1 - t_2| = \frac{7}{12}$. Давайте предположим, что второй мотоциклист (ехавший из B в A) прибыл раньше. Это значит, что его скорость $v_2$ больше, а время в пути $t_2$ меньше. Тогда $t_1 - t_2 = \frac{7}{12}$. Получаем второе уравнение:

$\frac{v_2}{v_1} - \frac{v_1}{v_2} = \frac{7}{12}$

3. Решение системы уравнений.

У нас есть система из двух уравнений:

$\begin{cases} v_1 + v_2 = 140 \\ \frac{v_2}{v_1} - \frac{v_1}{v_2} = \frac{7}{12} \end{cases}$

Для решения второго уравнения введем замену. Пусть $x = \frac{v_2}{v_1}$. Тогда $\frac{v_1}{v_2} = \frac{1}{x}$. Уравнение примет вид:

$x - \frac{1}{x} = \frac{7}{12}$

Умножим обе части на $12x$ (поскольку скорости не могут быть нулевыми, $x \ne 0$):

$12x^2 - 12 = 7x$

$12x^2 - 7x - 12 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-12) = 49 + 576 = 625 = 25^2$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 + 25}{2 \cdot 12} = \frac{32}{24} = \frac{4}{3}$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 - 25}{2 \cdot 12} = \frac{-18}{24} = -\frac{3}{4}$

Поскольку $x$ представляет собой отношение скоростей, оно должно быть положительным числом. Следовательно, $x = \frac{4}{3}$.

Возвращаемся к замене: $\frac{v_2}{v_1} = \frac{4}{3}$, откуда $v_2 = \frac{4}{3}v_1$.

Теперь подставим это выражение в первое уравнение системы:

$v_1 + \frac{4}{3}v_1 = 140$

$\frac{3}{3}v_1 + \frac{4}{3}v_1 = 140$

$\frac{7}{3}v_1 = 140$

$v_1 = 140 \cdot \frac{3}{7} = 20 \cdot 3 = 60$

Теперь найдем $v_2$:

$v_2 = 140 - v_1 = 140 - 60 = 80$

Таким образом, скорость первого мотоциклиста равна 60 км/ч, а второго — 80 км/ч.

Ответ: скорость одного мотоциклиста 60 км/ч, скорость другого — 80 км/ч.

488. Из одного города в другой, расстояние между которыми равно 240 км, выехали одновременно автобус и автомобиль. Автобус прибыл в пункт назначения на 1 ч позже автомобиля. Найдите скорости автомобиля и автобуса, если за 2 ч автобус проезжает на 40 км больше, чем автомобиль за 1 ч.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $v_a$ — скорость автомобиля в км/ч, а $v_b$ — скорость автобуса в км/ч.

Расстояние между городами составляет $S = 240$ км.

Время, которое автомобиль затратил на путь, равно $t_a = \frac{S}{v_a} = \frac{240}{v_a}$ ч.

Время, которое автобус затратил на путь, равно $t_b = \frac{S}{v_b} = \frac{240}{v_b}$ ч.

Из условия известно, что автобус прибыл на 1 час позже автомобиля. Это означает, что время автобуса в пути на 1 час больше, чем время автомобиля. Составим первое уравнение: $t_b - t_a = 1$

$\frac{240}{v_b} - \frac{240}{v_a} = 1$

Также из условия известно, что за 2 часа автобус проезжает на 40 км больше, чем автомобиль за 1 час. Расстояние, которое проезжает автобус за 2 часа, равно $2 \cdot v_b$. Расстояние, которое проезжает автомобиль за 1 час, равно $1 \cdot v_a$. Составим второе уравнение:

$2v_b = v_a + 40$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$ \begin{cases} \frac{240}{v_b} - \frac{240}{v_a} = 1 \\ 2v_b = v_a + 40 \end{cases} $

Выразим $v_b$ из второго уравнения:

$v_b = \frac{v_a + 40}{2}$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$\frac{240}{\frac{v_a + 40}{2}} - \frac{240}{v_a} = 1$

Упростим первое слагаемое:

$\frac{240 \cdot 2}{v_a + 40} - \frac{240}{v_a} = 1$

$\frac{480}{v_a + 40} - \frac{240}{v_a} = 1$

Приведем левую часть к общему знаменателю $v_a(v_a + 40)$:

$\frac{480v_a - 240(v_a + 40)}{v_a(v_a + 40)} = 1$

$480v_a - 240v_a - 9600 = v_a(v_a + 40)$

$240v_a - 9600 = v_a^2 + 40v_a$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$v_a^2 + 40v_a - 240v_a + 9600 = 0$

$v_a^2 - 200v_a + 9600 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-200)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9600 = 40000 - 38400 = 1600$

$\sqrt{D} = \sqrt{1600} = 40$

Найдем два возможных значения для скорости автомобиля $v_a$:

$v_{a1} = \frac{-(-200) + 40}{2 \cdot 1} = \frac{240}{2} = 120$ (км/ч)

$v_{a2} = \frac{-(-200) - 40}{2 \cdot 1} = \frac{160}{2} = 80$ (км/ч)

Теперь для каждого значения скорости автомобиля найдем соответствующую скорость автобуса.

Случай 1:

Если $v_a = 120$ км/ч, то скорость автобуса:

$v_b = \frac{120 + 40}{2} = \frac{160}{2} = 80$ (км/ч)

Проверим условие по времени:

$t_a = \frac{240}{120} = 2$ ч

$t_b = \frac{240}{80} = 3$ ч

$t_b - t_a = 3 - 2 = 1$ ч. Условие выполняется.

Случай 2:

Если $v_a = 80$ км/ч, то скорость автобуса:

$v_b = \frac{80 + 40}{2} = \frac{120}{2} = 60$ (км/ч)

Проверим условие по времени:

$t_a = \frac{240}{80} = 3$ ч

$t_b = \frac{240}{60} = 4$ ч

$t_b - t_a = 4 - 3 = 1$ ч. Условие также выполняется.

Задача имеет два возможных решения.

Ответ: Скорость автомобиля 120 км/ч и скорость автобуса 80 км/ч, либо скорость автомобиля 80 км/ч и скорость автобуса 60 км/ч.

489. Два автомобиля выехали одновременно из одного пункта в одном направлении. Скорость первого автомобиля 50 км/ч, а второго – 40 км/ч. Через 0,5 ч из того же пункта в том же направлении выехал третий автомобиль, который обогнал первый на 1,5 ч позже, чем второй. Найдите скорость третьего автомобиля.

Обозначим скорость третьего автомобиля как $x$ км/ч. Скорости первого и второго автомобилей известны: $v_1 = 50$ км/ч и $v_2 = 40$ км/ч.

Примем за точку отсчета времени ($t=0$) момент, когда первые два автомобиля выехали из пункта A. Третий автомобиль выехал из того же пункта A через 0,5 часа, то есть в момент времени $t = 0.5$ ч. Его время в пути в любой момент $t$ будет равно $(t - 0.5)$ ч.

Пусть третий автомобиль догоняет второй в момент времени $t_2$. К этому моменту второй автомобиль проедет расстояние $S_2 = v_2 \cdot t_2 = 40t_2$. Третий автомобиль к этому же моменту времени $t_2$ проедет расстояние $S_3 = x \cdot (t_2 - 0.5)$. В момент обгона их расстояния от пункта A равны:

$40t_2 = x(t_2 - 0.5)$

$40t_2 = xt_2 - 0.5x$

$xt_2 - 40t_2 = 0.5x$

$t_2(x - 40) = 0.5x$

$t_2 = \frac{0.5x}{x - 40}$

Пусть третий автомобиль догоняет первый в момент времени $t_1$. К этому моменту первый автомобиль проедет расстояние $S_1 = v_1 \cdot t_1 = 50t_1$. Третий автомобиль проедет $S_3 = x \cdot (t_1 - 0.5)$. В момент обгона их расстояния равны:

$50t_1 = x(t_1 - 0.5)$

$50t_1 = xt_1 - 0.5x$

$xt_1 - 50t_1 = 0.5x$

$t_1(x - 50) = 0.5x$

$t_1 = \frac{0.5x}{x - 50}$

По условию задачи, третий автомобиль обогнал первый на 1,5 часа позже, чем второй. Это значит, что $t_1 = t_2 + 1.5$. Подставим в это уравнение найденные выражения для $t_1$ и $t_2$:

$\frac{0.5x}{x - 50} = \frac{0.5x}{x - 40} + 1.5$

Для решения этого уравнения перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть:

$\frac{0.5x}{x - 50} - \frac{0.5x}{x - 40} = 1.5$

Вынесем $0.5x$ за скобки и приведем дроби к общему знаменателю:

$0.5x \left( \frac{1}{x - 50} - \frac{1}{x - 40} \right) = 1.5$

$0.5x \left( \frac{(x - 40) - (x - 50)}{(x - 50)(x - 40)} \right) = 1.5$

$0.5x \left( \frac{x - 40 - x + 50}{(x - 50)(x - 40)} \right) = 1.5$

$0.5x \left( \frac{10}{x^2 - 90x + 2000} \right) = 1.5$

$\frac{5x}{x^2 - 90x + 2000} = 1.5$

Теперь умножим обе части на знаменатель, при условии что $x \neq 40$ и $x \neq 50$:

$5x = 1.5(x^2 - 90x + 2000)$

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от десятичной дроби:

$10x = 3(x^2 - 90x + 2000)$

$10x = 3x^2 - 270x + 6000$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$3x^2 - 270x - 10x + 6000 = 0$

$3x^2 - 280x + 6000 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-280)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 6000 = 78400 - 72000 = 6400$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{280 + \sqrt{6400}}{2 \cdot 3} = \frac{280 + 80}{6} = \frac{360}{6} = 60$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{280 - \sqrt{6400}}{2 \cdot 3} = \frac{280 - 80}{6} = \frac{200}{6} = \frac{100}{3} = 33 \frac{1}{3}$

По смыслу задачи, чтобы третий автомобиль смог обогнать первый и второй, его скорость должна быть больше их скоростей, т.е. $x > 50$ км/ч. Корень $x_2 = 33 \frac{1}{3}$ км/ч не удовлетворяет этому условию, поэтому он является посторонним. Корень $x_1 = 60$ км/ч удовлетворяет условию $x > 50$.

Ответ: скорость третьего автомобиля 60 км/ч.