Номер 3, страница 143 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

3. Что называют математическим моделированием?

Математическое моделирование — это процесс описания реального мира (объектов, систем, процессов, явлений) с помощью математического языка с целью его исследования и прогнозирования. Иными словами, это создание и изучение математической модели, которая является упрощенным, формализованным представлением действительности.

Цель моделирования — не скопировать реальность во всех деталях, а выделить самые важные, ключевые свойства и связи, отбросив второстепенные. Это позволяет анализировать сложные системы, которые невозможно или слишком дорого/опасно изучать напрямую в реальном эксперименте.

Этапы математического моделирования

Процесс моделирования, как правило, является итеративным (циклическим) и состоит из нескольких основных шагов:

1. Построение модели (Формализация). На этом этапе происходит перевод реальной проблемы на язык математики. Сначала определяют цель (что мы хотим узнать?), затем выделяют главные факторы, влияющие на процесс, и пренебрегают несущественными (этот прием называется абстрагированием или идеализацией). Затем между выбранными факторами (переменными) устанавливаются математические связи — уравнения, неравенства, функции, системы и т.д. Например, падение камня можно описать уравнением движения $S = v_0 t + \frac{gt^2}{2}$, пренебрегая сопротивлением воздуха.

2. Математический анализ модели (Работа с моделью). Это работа непосредственно с полученной математической задачей: решение уравнений (аналитическое или численное), нахождение экстремумов функций, анализ свойств полученных решений. Результатом этого этапа является чисто математический вывод (например, число, формула, график).

3. Интерпретация и проверка адекватности (Валидация). Математический результат необходимо "перевести" обратно на язык реальности. Полученные выводы сравнивают с реальными данными, результатами наблюдений или экспериментов. Если предсказания модели хорошо согласуются с действительностью, модель считается адекватной. Например, если рассчитанное время падения камня практически совпадает с измеренным секундомером.

4. Модификация модели. Если проверка показала, что модель неадекватна (дает большую погрешность), ее усовершенствуют. Для этого возвращаются к первому этапу и уточняют начальные гипотезы, добавляют ранее отброшенные факторы (например, для падающего камня можно учесть сопротивление воздуха), используют более сложный математический аппарат. После этого цикл анализа повторяется.

Пример: Модель роста популяции

Простейшая модель, предложенная Мальтусом, предполагает, что скорость роста популяции $\frac{dN}{dt}$ пропорциональна ее текущей численности $N$. Математически это записывается как дифференциальное уравнение: $\frac{dN}{dt} = rN$, где $r$ — коэффициент рождаемости. Решением этого уравнения является экспоненциальная функция $N(t) = N_0 e^{rt}$, где $N_0$ — начальная численность. Эта модель хорошо работает на коротких промежутках времени, но не учитывает ограниченность ресурсов. Более сложная и адекватная модель (логистическое уравнение) добавляет фактор, ограничивающий рост: $\frac{dN}{dt} = rN \left(1 - \frac{N}{K}\right)$, где $K$ — так называемая емкость среды (максимально возможная численность популяции).

Значение математического моделирования

Моделирование является одним из ключевых методов познания в науке (физика, химия, биология), инженерии (проектирование самолетов, мостов, электроники), экономике (прогнозирование рынков), медицине (моделирование эпидемий), экологии и многих других областях. Оно позволяет:
— Прогнозировать развитие событий и явлений.
— Оптимизировать процессы и находить наилучшие решения (например, самый выгодный тариф или оптимальный маршрут).
— Глубже понимать устройство и принципы работы сложных систем.
— Проводить "виртуальные" эксперименты, когда реальные невозможны, опасны или слишком затратны.

Ответ: Математическое моделирование — это метод исследования, состоящий в замене реального объекта, процесса или системы его упрощенным аналогом — математической моделью. Дальнейшее изучение этой модели с помощью математических методов позволяет получить новую информацию об исходном объекте. Этот процесс включает в себя этапы формализации (создания модели), анализа (решения математической задачи), интерпретации и проверки адекватности полученных результатов.