Номер 9, страница 134 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

9. Сколько общих точек имеют графики уравнений

$(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 10$ и $(x + 2)^2 + (y - 6)^2 = 4?$

А) 0

Б) 4

В) 2

Г) 1

Чтобы найти количество общих точек графиков, необходимо проанализировать уравнения. Каждое из данных уравнений является уравнением окружности в стандартном виде $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2$, где $(x_0, y_0)$ — координаты центра, а $R$ — радиус окружности.

Анализ первого уравнения
Уравнение первой окружности: $(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 10$.
Из этого уравнения определяем параметры первой окружности:
Центр $C_1$ находится в точке с координатами $(1, 2)$.
Радиус $R_1 = \sqrt{10}$.

Анализ второго уравнения
Уравнение второй окружности: $(x + 2)^2 + (y - 6)^2 = 4$.
Из этого уравнения определяем параметры второй окружности:
Центр $C_2$ находится в точке с координатами $(-2, 6)$.
Радиус $R_2 = \sqrt{4} = 2$.

Определение взаимного расположения окружностей
Количество точек пересечения двух окружностей зависит от соотношения между расстоянием $d$ между их центрами и суммой/разностью их радиусов.

1. Находим расстояние между центрами
Вычислим расстояние $d$ между центрами $C_1(1, 2)$ и $C_2(-2, 6)$ по формуле расстояния между двумя точками: $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
$d = \sqrt{(-2 - 1)^2 + (6 - 2)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.

2. Сравниваем расстояние с радиусами
Теперь сравним расстояние $d$ с суммой радиусов $R_1 + R_2$ и модулем их разности $|R_1 - R_2|$.

• Сумма радиусов: $R_1 + R_2 = \sqrt{10} + 2$.
• Модуль разности радиусов: $|R_1 - R_2| = |\sqrt{10} - 2|$. Поскольку $3^2=9$, то $\sqrt{10} > 3$, значит $\sqrt{10} - 2 > 0$. Таким образом, $|R_1 - R_2| = \sqrt{10} - 2$.

Окружности пересекаются в двух точках, если выполняется неравенство $|R_1 - R_2| < d < R_1 + R_2$.

3. Проверка условия пересечения
Подставим наши значения в неравенство: $\sqrt{10} - 2 < 5 < \sqrt{10} + 2$.
Проверим каждую часть этого двойного неравенства:
1) Левая часть: $\sqrt{10} - 2 < 5$. Прибавим 2 к обеим частям: $\sqrt{10} < 7$. Возведем обе положительные части в квадрат: $10 < 49$. Это неравенство верно.
2) Правая часть: $5 < \sqrt{10} + 2$. Вычтем 2 из обеих частей: $3 < \sqrt{10}$. Возведем обе положительные части в квадрат: $9 < 10$. Это неравенство также верно.
Поскольку условие $|R_1 - R_2| < d < R_1 + R_2$ полностью выполняется, окружности пересекаются в двух различных точках.

Ответ: В) 2