Номер 472, страница 130 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

472. Сколько решений в зависимости от значения a имеет система уравнений:

1) $\begin{cases} y = |x|, \\ x^2 + y = a; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 + y^2 = a^2, \\ |x| = 4; \end{cases}$

3) $\begin{cases} y - x = 1, \\ xy = a; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ y = x^2 + a? \end{cases}$

1)
Рассмотрим систему уравнений:
$ \begin{cases} y = |x| \\ x^2 + y = a \end{cases} $
Подставим $y$ из первого уравнения во второе:
$ x^2 + |x| = a $
Чтобы найти количество решений системы, нужно определить, сколько корней имеет это уравнение в зависимости от параметра $a$. Это эквивалентно нахождению количества точек пересечения графика функции $f(x) = x^2 + |x|$ с горизонтальной прямой $y=a$.
Функция $f(x)$ является четной, так как $f(-x) = (-x)^2 + |-x| = x^2 + |x| = f(x)$. Ее график симметричен относительно оси OY.
Минимальное значение функции достигается при $x=0$, и оно равно $f(0)=0$.
Таким образом, количество решений определяется положением прямой $y=a$:

• Если $a < 0$, прямая $y=a$ не пересекает график $f(x)$, так как $f(x) \ge 0$ для всех $x$. Решений нет.
• Если $a = 0$, уравнение $x^2+|x|=0$ имеет единственный корень $x=0$. Из первого уравнения системы находим $y=|0|=0$. Система имеет одно решение: $(0,0)$.
• Если $a > 0$, прямая $y=a$ пересекает график $f(x)$ в двух точках, симметричных относительно оси OY. Для каждого из двух значений $x$ ($x_0$ и $-x_0$) получаем одно и то же значение $y = |x_0| = |-x_0|$. Система имеет два решения.

Ответ: если $a < 0$ — нет решений; если $a=0$ — одно решение; если $a > 0$ — два решения.

2)
Рассмотрим систему уравнений:
$ \begin{cases} x^2 + y^2 = a^2 \\ |x| = 4 \end{cases} $
Из второго уравнения следует, что $x=4$ или $x=-4$.
Подставим эти значения в первое уравнение. В обоих случаях ($x=4$ и $x=-4$) получаем:
$ (\pm 4)^2 + y^2 = a^2 $
$ 16 + y^2 = a^2 $
$ y^2 = a^2 - 16 $
Количество действительных решений для $y$ зависит от знака выражения $a^2-16$:

• Если $a^2 - 16 < 0$, то есть $a^2 < 16$, что эквивалентно $|a| < 4$ (или $-4 < a < 4$), уравнение для $y$ не имеет действительных корней. Система не имеет решений.
• Если $a^2 - 16 = 0$, то есть $a^2 = 16$, что эквивалентно $|a| = 4$ (или $a=4, a=-4$), уравнение $y^2=0$ имеет один корень $y=0$. Так как у нас есть два значения для $x$ ($4$ и $-4$), система имеет два решения: $(4, 0)$ и $(-4, 0)$.
• Если $a^2 - 16 > 0$, то есть $a^2 > 16$, что эквивалентно $|a| > 4$ (или $a < -4$ или $a > 4$), уравнение $y^2 = a^2 - 16$ имеет два корня: $y = \pm\sqrt{a^2 - 16}$. Так как у нас есть два значения для $x$ ($4$ и $-4$), то всего система имеет $2 \times 2 = 4$ решения: $(4, \sqrt{a^2-16})$, $(4, -\sqrt{a^2-16})$, $(-4, \sqrt{a^2-16})$ и $(-4, -\sqrt{a^2-16})$.

Ответ: если $|a| < 4$ — нет решений; если $|a| = 4$ — два решения; если $|a| > 4$ — четыре решения.

3)
Рассмотрим систему уравнений:
$ \begin{cases} y - x = 1 \\ xy = a \end{cases} $
Из первого уравнения выразим $y$: $y = x+1$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$ x(x+1) = a $
$ x^2 + x - a = 0 $
Это квадратное уравнение относительно $x$. Количество решений системы совпадает с количеством корней этого уравнения, так как каждому значению $x$ однозначно соответствует значение $y=x+1$.
Найдем дискриминант $D$ этого уравнения:
$ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-a) = 1 + 4a $
Количество корней зависит от знака дискриминанта:

• Если $D < 0$, то есть $1+4a < 0 \implies a < -1/4$, уравнение не имеет действительных корней. Система не имеет решений.
• Если $D = 0$, то есть $1+4a = 0 \implies a = -1/4$, уравнение имеет один действительный корень. Система имеет одно решение.
• Если $D > 0$, то есть $1+4a > 0 \implies a > -1/4$, уравнение имеет два различных действительных корня. Система имеет два решения.

Ответ: если $a < -1/4$ — нет решений; если $a = -1/4$ — одно решение; если $a > -1/4$ — два решения.

4)
Рассмотрим систему уравнений:
$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 4 \\ y = x^2 + a \end{cases} $
Решим задачу графически. Первое уравнение $x^2+y^2=4$ задает окружность с центром в точке $(0,0)$ и радиусом $R=2$. Второе уравнение $y=x^2+a$ задает параболу с ветвями, направленными вверх, и вершиной в точке $(0,a)$. Количество решений системы равно количеству точек пересечения окружности и параболы.
Проанализируем количество точек пересечения в зависимости от параметра $a$, который определяет вертикальное положение параболы:

1. Если $a > 2$, вершина параболы $(0,a)$ находится выше самой верхней точки окружности $(0,2)$. Пересечений нет.
2. Если $a = 2$, вершина параболы $(0,2)$ совпадает с верхней точкой окружности. Это точка касания. Имеется одна точка пересечения.
3. Если $-2 < a < 2$, вершина параболы находится внутри окружности, и парабола пересекает окружность в двух точках.
4. Если $a = -2$, вершина параболы $(0,-2)$ совпадает с нижней точкой окружности. Парабола $y=x^2-2$ пересекает окружность $x^2+y^2=4$ в трех точках: в вершине $(0,-2)$ и в двух симметричных точках $(\sqrt{3}, 1)$ и $(-\sqrt{3}, 1)$.
5. Если $-17/4 < a < -2$, парабола пересекает окружность в четырех точках.
6. Если $a = -17/4$, парабола касается окружности в двух симметричных точках $(\pm\sqrt{15}/2, -1/2)$. Имеется две точки пересечения.
7. Если $a < -17/4$, парабола целиком проходит под окружностью, не пересекая ее. Решений нет.

Соберем все случаи вместе:

• При $a < -17/4$ или $a > 2$: нет решений.
• При $a = 2$: одно решение.
• При $a = -17/4$ или $-2 < a < 2$: два решения.
• При $a = -2$: три решения.
• При $-17/4 < a < -2$: четыре решения.

Ответ: если $a < -17/4$ или $a > 2$ — нет решений; если $a = 2$ — одно решение; если $a = -17/4$ или $-2 < a < 2$ — два решения; если $a = -2$ — три решения; если $-17/4 < a < -2$ — четыре решения.