Номер 471, страница 130 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

471. При каких значениях $k$ система уравнений $ \begin{cases} y - x^2 = 4, \\ y = kx + 3 \end{cases} $

1) имеет одно решение;

2) имеет два решения;

3) не имеет решений?

Для нахождения количества решений системы уравнений, мы можем приравнять правые части уравнений, так как в обоих левая часть равна $y$. Сначала выразим $y$ из первого уравнения:

$y - x^2 = 4 \implies y = x^2 + 4$

Теперь приравняем это выражение к второму уравнению системы:

$x^2 + 4 = kx + 3$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение относительно переменной $x$:

$x^2 - kx + 4 - 3 = 0$

$x^2 - kx + 1 = 0$

Количество решений исходной системы уравнений соответствует количеству действительных корней этого квадратного уравнения. Количество корней квадратного уравнения определяется знаком его дискриминанта $D$.

Для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ дискриминант вычисляется по формуле $D = b^2 - 4ac$. В нашем случае коэффициенты равны: $a = 1$, $b = -k$, $c = 1$.

Найдем дискриминант:

$D = (-k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = k^2 - 4$

Теперь проанализируем количество решений для каждого из трех случаев.

1) имеет одно решение

Система имеет одно решение, если квадратное уравнение $x^2 - kx + 1 = 0$ имеет ровно один действительный корень. Это условие выполняется, когда дискриминант равен нулю ($D = 0$).

$k^2 - 4 = 0$

$k^2 = 4$

$k = \pm\sqrt{4}$

Таким образом, система имеет одно решение при $k=2$ и $k=-2$.

Ответ: при $k = -2$ и $k = 2$.

2) имеет два решения

Система имеет два решения, если квадратное уравнение имеет два различных действительных корня. Это условие выполняется, когда дискриминант больше нуля ($D > 0$).

$k^2 - 4 > 0$

$k^2 > 4$

Решением этого неравенства являются значения $k$, модуль которых больше 2, то есть $k < -2$ или $k > 2$.

Ответ: при $k \in (-\infty; -2) \cup (2; \infty)$.

3) не имеет решений

Система не имеет решений, если квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это условие выполняется, когда дискриминант меньше нуля ($D < 0$).

$k^2 - 4 < 0$

$k^2 < 4$

Решением этого неравенства являются значения $k$, модуль которых меньше 2, то есть $-2 < k < 2$.

Ответ: при $k \in (-2; 2)$.