Страница 126 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какие методы решения систем уравнений вы знаете?

Существует несколько основных методов решения систем уравнений. Выбор метода зависит от вида уравнений в системе (линейные, нелинейные) и их сложности.

1. Метод подстановки

Этот метод заключается в том, что из одного уравнения системы выражают одну переменную через другую и подставляют полученное выражение в другое уравнение. В результате получается уравнение с одной переменной, которое решают, а затем находят значение второй переменной.

Пример:

Решим систему: $ \begin{cases} 2x + y = 7 \\ 3x - 2y = 0 \end{cases} $

1. Из первого уравнения выразим y: $y = 7 - 2x$.

2. Подставим это выражение во второе уравнение: $3x - 2(7 - 2x) = 0$.

3. Решим полученное уравнение с одной переменной x:

$3x - 14 + 4x = 0$

$7x = 14$

$x = 2$

4. Найдем соответствующее значение y, подставив $x=2$ в выражение для y:

$y = 7 - 2 \cdot 2 = 7 - 4 = 3$.

Ответ: $(2; 3)$.

2. Метод алгебраического сложения

Цель этого метода — исключить одну из переменных путем сложения или вычитания уравнений системы. Для этого уравнения умножают на такие числа, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными.

Пример:

Решим ту же систему: $ \begin{cases} 2x + y = 7 \\ 3x - 2y = 0 \end{cases} $

1. Умножим первое уравнение на 2, чтобы коэффициенты при y стали противоположными (2 и -2):

$(2x + y = 7) \cdot 2 \implies 4x + 2y = 14$.

2. Сложим почленно полученное уравнение со вторым уравнением системы:

$(4x + 2y) + (3x - 2y) = 14 + 0$

$7x = 14$

$x = 2$

3. Подставим найденное значение $x=2$ в любое из исходных уравнений, например, в первое:

$2 \cdot 2 + y = 7$

$4 + y = 7$

$y = 3$

Ответ: $(2; 3)$.

3. Графический метод

Этот метод состоит в построении графиков каждого уравнения системы в одной координатной плоскости. Координаты точки (или точек) пересечения графиков являются решением системы. Метод нагляден, но часто дает лишь приблизительное решение.

Пример:

Решим систему: $ \begin{cases} y = x + 1 \\ y = -2x + 4 \end{cases} $

1. Строим график первого уравнения $y = x + 1$. Это прямая, проходящая через точки (0, 1) и (1, 2).

2. Строим график второго уравнения $y = -2x + 4$. Это прямая, проходящая через точки (0, 4) и (2, 0).

3. Находим точку пересечения графиков. Визуально определяем, что прямые пересекаются в точке с координатами $(1; 2)$.

Проверка подстановкой подтверждает, что $2 = 1 + 1$ и $2 = -2 \cdot 1 + 4$.

Ответ: $(1; 2)$.

4. Метод введения новых переменных (метод замены)

Используется для упрощения сложных, часто нелинейных, систем уравнений. Если в системе многократно встречаются одинаковые выражения, их заменяют новыми переменными.

Пример:

Решим систему: $ \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{2}{y} = 4 \\ \frac{3}{x} - \frac{1}{y} = 2 \end{cases} $

1. Введем новые переменные: пусть $a = \frac{1}{x}$ и $b = \frac{2}{y}$. Тогда система примет вид:

$ \begin{cases} a + 2b = 4 \\ 3a - b = 2 \end{cases} $

2. Решим эту простую линейную систему, например, методом подстановки. Из второго уравнения $b = 3a - 2$. Подставим в первое:

$a + 2(3a - 2) = 4$

$a + 6a - 4 = 4$

$7a = 8 \implies a = \frac{8}{7}$

Тогда $b = 3 \cdot \frac{8}{7} - 2 = \frac{24}{7} - \frac{14}{7} = \frac{10}{7}$.

3. Вернемся к исходным переменным:

$a = \frac{1}{x} \implies \frac{8}{7} = \frac{1}{x} \implies x = \frac{7}{8}$

$b = \frac{1}{y} \implies \frac{10}{7} = \frac{1}{y} \implies y = \frac{7}{10}$

Ответ: $(\frac{7}{8}; \frac{7}{10})$.

5. Матричный метод (с помощью обратной матрицы)

Этот метод применяется для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Систему представляют в виде матричного уравнения $AX = B$, где $A$ — матрица коэффициентов, $X$ — столбец неизвестных, $B$ — столбец свободных членов. Решение находится по формуле $X = A^{-1}B$, где $A^{-1}$ — обратная матрица.

Пример:

Решим систему: $ \begin{cases} 2x + y = 7 \\ 3x - 2y = 0 \end{cases} $

Матричное уравнение: $\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \end{pmatrix}$.

1. Найдем определитель матрицы $A$: $\det(A) = 2 \cdot (-2) - 1 \cdot 3 = -4 - 3 = -7$.

2. Найдем обратную матрицу $A^{-1}$: $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} = -\frac{1}{7} \begin{pmatrix} -2 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2/7 & 1/7 \\ 3/7 & -2/7 \end{pmatrix}$.

3. Найдем решение: $X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} 2/7 & 1/7 \\ 3/7 & -2/7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 7 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{2}{7}\cdot7 + \frac{1}{7}\cdot0 \\ \frac{3}{7}\cdot7 - \frac{2}{7}\cdot0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$.

Ответ: $(2; 3)$.

6. Метод Крамера

Метод также используется для решения СЛАУ и основан на вычислении определителей. Для системы с $n$ неизвестными решение для каждой переменной $x_i$ находится по формуле $x_i = \frac{\Delta_i}{\Delta}$, где $\Delta$ — главный определитель системы (определитель матрицы коэффициентов), а $\Delta_i$ — вспомогательный определитель, полученный заменой $i$-го столбца в главном определителе на столбец свободных членов.

Пример:

Решим ту же систему: $ \begin{cases} 2x + y = 7 \\ 3x - 2y = 0 \end{cases} $

1. Вычислим главный определитель системы: $\Delta = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -2 \end{vmatrix} = 2(-2) - 1(3) = -7$.

2. Вычислим вспомогательные определители:

$\Delta_x = \begin{vmatrix} 7 & 1 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} = 7(-2) - 1(0) = -14$.

$\Delta_y = \begin{vmatrix} 2 & 7 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} = 2(0) - 7(3) = -21$.

3. Найдем переменные:

$x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{-14}{-7} = 2$.

$y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{-21}{-7} = 3$.

Ответ: $(2; 3)$.

2. Поясните суть графического метода решения систем уравнений.

Графический метод решения систем уравнений — это способ нахождения решений путем построения графиков для каждого уравнения системы в одной координатной плоскости. Решением системы уравнений называется пара (или набор) чисел, которая удовлетворяет каждому уравнению системы. Геометрически это означает, что точка с координатами, являющимися решением, должна лежать на каждом из графиков. Таким образом, суть метода сводится к нахождению координат точек пересечения этих графиков.

Алгоритм решения системы уравнений графическим методом:

1. Выразить в каждом уравнении одну переменную через другую, если это необходимо. Чаще всего выражают переменную $y$ через $x$, приводя уравнение к виду $y = f(x)$.
2. Построить график каждого уравнения в одной и той же прямоугольной системе координат.
3. Найти на чертеже точки пересечения построенных графиков.
4. Определить координаты каждой точки пересечения. Эти координаты и будут решениями системы.
5. Записать ответ.

В зависимости от взаимного расположения графиков возможны три случая:

• Графики пересекаются в одной точке. В этом случае система имеет единственное решение. Для системы двух линейных уравнений это означает, что угловые коэффициенты прямых различны.
• Графики параллельны и не имеют общих точек. В этом случае система не имеет решений. Для линейных уравнений это означает, что их угловые коэффициенты равны, а сдвиги по оси $y$ — различны.
• Графики полностью совпадают. В этом случае система имеет бесконечное множество решений — любая точка, лежащая на этом графике, является решением.

Пример:

Решим графически систему уравнений: $ \begin{cases} y - x = 2 \\ y + x = 4 \end{cases} $

1. Приведем оба уравнения к виду $y = f(x)$:
$y = x + 2$
$y = -x + 4$

2. Построим графики. Оба графика — прямые линии.

• Для построения прямой $y = x + 2$ достаточно двух точек, например, $(0; 2)$ и $(2; 4)$.
• Для построения прямой $y = -x + 4$ также возьмем две точки, например, $(0; 4)$ и $(4; 0)$.

3. Построив обе прямые в одной системе координат, находим их точку пересечения. Визуально определяем, что ее координаты — $(1; 3)$.

4. Для уверенности выполним проверку, подставив пару $(1; 3)$ в исходные уравнения:
$3 - 1 = 2 \implies 2 = 2$ (верно)
$3 + 1 = 4 \implies 4 = 4$ (верно)

Следовательно, пара чисел $(1; 3)$ является решением системы.

Несмотря на наглядность, у графического метода есть существенный недостаток — неточность. Если точка пересечения имеет нецелые (дробные или иррациональные) координаты, определить их точное значение по графику, построенному от руки, практически невозможно. Поэтому метод чаще используется для иллюстрации или для случаев, когда решение является целочисленным. Для точного нахождения решений применяют аналитические методы (подстановки или сложения).

Ответ: Суть графического метода решения систем уравнений заключается в построении в одной системе координат графиков для каждого уравнения и нахождении координат их точек пересечения. Координаты этих точек являются решениями системы.

3. В каких случаях графический метод является наиболее эффективным?

Графический метод является мощным инструментом визуализации, который становится наиболее эффективным в ряде конкретных случаев, когда наглядность и качественная оценка преобладают над точностью вычислений.

Решение уравнений, неравенств и их систем

Графический метод особенно полезен, когда необходимо получить быстрое представление о количестве решений и их приблизительных значениях, а не точные аналитические выкладки. Он позволяет визуально оценить точки пересечения или взаимного расположения графиков функций. Например, для решения системы уравнений вида $\{y = f(x), y = g(x)\}$ строится два графика, и координаты точек их пересечения являются решениями системы. Этот метод незаменим, когда одна из функций в уравнении нелинейна или трансцендентна (например, $2^x = x+2$), и аналитическое решение найти сложно или невозможно. Также он отлично подходит для решения неравенств, где решением является область на координатной плоскости.

Ответ: Графический метод эффективен для определения количества корней и их приблизительных значений, особенно когда точное аналитическое решение затруднено или не требуется, а функции легко изобразить.

Анализ данных и выявление закономерностей

В статистике и анализе данных графический метод — один из основных инструментов. Человеческий мозг гораздо лучше воспринимает визуальную информацию, чем сухие цифры в таблице. Графики (гистограммы, диаграммы рассеяния, линейные графики) позволяют мгновенно выявить:

• Тренды и тенденции (например, рост продаж со временем).
• Корреляции и зависимости между переменными.
• Выбросы (аномальные значения), которые выделяются на общем фоне.
• Распределение данных (например, нормальное распределение на гистограмме).

Этот метод является основой разведочного анализа данных (Exploratory Data Analysis).

Ответ: В анализе данных для быстрой качественной оценки, выявления трендов, аномалий (выбросов), кластеров и корреляций, которые сложно заметить в табличных данных.

Задачи оптимизации (линейное программирование)

В задачах линейного программирования с двумя переменными графический метод является классическим и наиболее наглядным. Он позволяет построить на плоскости область допустимых решений (ОДР), которая формируется системой линейных неравенств-ограничений. Оптимальное решение, максимизирующее или минимизирующее целевую функцию вида $Z = c_1x_1 + c_2x_2 \to \max(\min)$, всегда находится в одной из вершин этого многоугольника. Графический метод позволяет не только найти эту вершину, но и понять, как изменится решение при изменении коэффициентов целевой функции или ограничений.

Ответ: При решении задач линейного программирования с двумя переменными, где он позволяет наглядно определить область допустимых решений и найти оптимальную точку.

Исследование свойств функций

Перед тем как проводить детальное аналитическое исследование функции с помощью производных, построение её эскизного графика дает ценную информацию. График сразу показывает промежутки монотонности (возрастания и убывания), точки экстремумов, выпуклость и вогнутость, наличие асимптот и поведение функции на бесконечности. Это позволяет сформировать гипотезы и проверить их уже аналитически, а также избежать грубых ошибок в расчетах.

Ответ: Для качественного исследования свойств функции (монотонность, экстремумы, асимптоты) и получения общего представления о её поведении без проведения громоздких вычислений.

Наглядное представление и коммуникация

Пожалуй, самое широкое применение графического метода — это представление результатов. В отчетах, презентациях, научных статьях и учебных материалах графики используются для того, чтобы сделать сложную информацию понятной и доступной для широкой аудитории. Сравнить показатели, показать долевое участие, продемонстрировать динамику процесса гораздо эффективнее с помощью диаграммы или графика, чем с помощью текста или таблицы.

Ответ: В ситуациях, когда необходимо доступно и убедительно представить сложную информацию, результаты исследований или зависимости между величинами широкой аудитории.

449. Решите графически систему уравнений:

1) $ \begin{cases} x + y = 5, \\ xy = 6; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} y + x^2 = 3, \\ y = x - 1; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ x + y = 2; \end{cases} $

4) $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ xy = -12. \end{cases} $

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 5, \\ xy = 6; \end{cases} $

Для графического решения построим графики каждого уравнения в одной системе координат.

Первое уравнение, $x + y = 5$, можно переписать в виде $y = 5 - x$. Это уравнение линейной функции, ее график — прямая. Для построения прямой достаточно двух точек. Найдем их:

• если $x = 0$, то $y = 5 - 0 = 5$. Точка $(0, 5)$.
• если $x = 5$, то $y = 5 - 5 = 0$. Точка $(5, 0)$.

Проведем прямую через эти две точки.

Второе уравнение, $xy = 6$, можно переписать в виде $y = \frac{6}{x}$. Это уравнение обратной пропорциональности, ее график — гипербола. Ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Построим ее по точкам:

• $x = 1, y = 6$
• $x = 2, y = 3$
• $x = 3, y = 2$
• $x = 6, y = 1$
• $x = -1, y = -6$
• $x = -2, y = -3$
• $x = -3, y = -2$
• $x = -6, y = -1$

Построим графики на одной координатной плоскости. Решениями системы являются координаты точек пересечения графиков. Из графика видно, что прямая и гипербола пересекаются в двух точках: $(2, 3)$ и $(3, 2)$.

Ответ: $(2, 3)$, $(3, 2)$.

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} y + x^2 = 3, \\ y = x - 1; \end{cases} $

Первое уравнение, $y + x^2 = 3$, преобразуем к виду $y = -x^2 + 3$. Это квадратичная функция, ее график — парабола. Ветви параболы направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(0, 3)$. Построим параболу по точкам:

• $x = 1, y = -1^2 + 3 = 2$
• $x = -1, y = -(-1)^2 + 3 = 2$
• $x = 2, y = -2^2 + 3 = -1$
• $x = -2, y = -(-2)^2 + 3 = -1$

Второе уравнение, $y = x - 1$, — это линейная функция, ее график — прямая. Для построения найдем две точки:

• если $x = 0$, то $y = -1$. Точка $(0, -1)$.
• если $x = 1$, то $y = 0$. Точка $(1, 0)$.

Построим графики в одной системе координат. Решениями системы являются координаты точек пересечения параболы и прямой. На графике видно, что парабола и прямая пересекаются в двух точках. Поскольку точки пересечения не имеют целочисленных координат, определим их приблизительно. Одна точка пересечения имеет координаты примерно $(1.6, 0.6)$, а вторая — примерно $(-2.6, -3.6)$.

Ответ: $(-2.6, -3.6)$, $(1.6, 0.6)$.

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ x + y = 2; \end{cases} $

Первое уравнение, $x^2 + y^2 = 4$, — это уравнение окружности с центром в начале координат, точке $(0, 0)$, и радиусом $R = \sqrt{4} = 2$.

Второе уравнение, $x + y = 2$, или $y = 2 - x$, — это уравнение прямой. Построим ее по двум точкам:

• если $x = 0$, то $y = 2$. Точка $(0, 2)$.
• если $x = 2$, то $y = 0$. Точка $(2, 0)$.

Построим окружность и прямую в одной системе координат. Координаты точек пересечения графиков будут решениями системы. Из графика видно, что прямая пересекает окружность в двух точках, которые лежат на осях координат: $(2, 0)$ и $(0, 2)$.

Ответ: $(2, 0)$, $(0, 2)$.

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ xy = -12; \end{cases} $

Первое уравнение, $x^2 + y^2 = 25$, — это уравнение окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R = \sqrt{25} = 5$.

Второе уравнение, $xy = -12$, или $y = -\frac{12}{x}$, — это уравнение гиперболы. Ее ветви расположены во II и IV координатных четвертях. Построим ее по точкам:

• $x = -2, y = 6$
• $x = -3, y = 4$
• $x = -4, y = 3$
• $x = -6, y = 2$
• $x = 2, y = -6$
• $x = 3, y = -4$
• $x = 4, y = -3$
• $x = 6, y = -2$

Построим окружность и гиперболу в одной системе координат. Решениями системы являются координаты точек пересечения их графиков. Из графика видно, что окружность и гипербола пересекаются в четырех точках: $(-4, 3)$, $(-3, 4)$, $(3, -4)$ и $(4, -3)$.

Ответ: $(-4, 3)$, $(-3, 4)$, $(3, -4)$, $(4, -3)$.

450. Решите графически систему уравнений:

1) $ \begin{cases} y = x + 2, \\ xy = 8; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} y = x^2 - 4, \\ 2x + y = -1; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} x + y = 3, \\ x^2 + y^2 = 9. \end{cases} $

1) Для решения системы графическим методом построим графики каждого уравнения в одной системе координат.

Первое уравнение: $y = x + 2$. Это линейная функция, её график — прямая. Для построения прямой достаточно двух точек. Возьмём $x=0$, тогда $y=2$. Точка $(0; 2)$. Возьмём $x=-2$, тогда $y=0$. Точка $(-2; 0)$.

Второе уравнение: $xy = 8$. Выразим $y$ через $x$: $y = \frac{8}{x}$. Это обратная пропорциональность, её график — гипербола. Ветви гиперболы расположены в I и III координатных четвертях. Составим таблицу значений:

Построим графики прямой и гиперболы. Координаты точек пересечения графиков являются решением системы. Из чертежа видно, что графики пересекаются в двух точках: $(2; 4)$ и $(-4; -2)$.

Проверим:
Для точки $(2; 4)$: $4 = 2+2$ (верно), $2 \cdot 4 = 8$ (верно).
Для точки $(-4; -2)$: $-2 = -4+2$ (верно), $(-4) \cdot (-2) = 8$ (верно).

Ответ: $(2; 4), (-4; -2)$.

2) Построим графики каждого уравнения в одной системе координат.

Первое уравнение: $y = x^2 - 4$. Это квадратичная функция, её график — парабола. Ветви параболы направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0; -4)$. Найдем точки пересечения с осью $Ox$: $x^2 - 4 = 0$, откуда $x_1=2, x_2=-2$. Точки $(2; 0)$ и $(-2; 0)$.

Второе уравнение: $2x + y = -1$. Выразим $y$: $y = -2x - 1$. Это линейная функция, её график — прямая. Для построения прямой найдем две точки. Если $x=0$, то $y=-1$. Точка $(0; -1)$. Если $x=1$, то $y=-3$. Точка $(1; -3)$.

Построим графики параболы и прямой. Координаты точек пересечения графиков являются решением системы. Из чертежа видно, что графики пересекаются в двух точках: $(-3; 5)$ и $(1; -3)$.

Проверим:
Для точки $(-3; 5)$: $5 = (-3)^2 - 4 = 9 - 4$ (верно), $2(-3) + 5 = -6 + 5 = -1$ (верно).
Для точки $(1; -3)$: $-3 = 1^2 - 4 = 1 - 4$ (верно), $2(1) + (-3) = 2 - 3 = -1$ (верно).

Ответ: $(-3; 5), (1; -3)$.

3) Построим графики каждого уравнения в одной системе координат.

Первое уравнение: $x + y = 3$. Выразим $y$: $y = -x + 3$. Это линейная функция, её график — прямая. Для построения найдем точки пересечения с осями координат. Если $x=0$, то $y=3$. Точка $(0; 3)$. Если $y=0$, то $x=3$. Точка $(3; 0)$.

Второе уравнение: $x^2 + y^2 = 9$. Это уравнение окружности с центром в начале координат (точке $(0; 0)$) и радиусом $r = \sqrt{9} = 3$.

Построим прямую и окружность. Координаты точек пересечения графиков являются решением системы. Из чертежа видно, что прямая пересекает окружность в двух точках, которые мы уже нашли при построении прямой: $(3; 0)$ и $(0; 3)$.

Проверим:
Для точки $(3; 0)$: $3 + 0 = 3$ (верно), $3^2 + 0^2 = 9$ (верно).
Для точки $(0; 3)$: $0 + 3 = 3$ (верно), $0^2 + 3^2 = 9$ (верно).

Ответ: $(3; 0), (0; 3)$.

451. Решите методом подстановки систему уравнений:

1) $\begin{cases} y = x + 3, \\ x^2 - 2y = 9; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x + y = 5, \\ xy = 4; \end{cases}$

3) $\begin{cases} y - x = 2, \\ x^2 - 2xy = 3; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x - 4y = 2, \\ xy + 2y = 8; \end{cases}$

5) $\begin{cases} xy = 15, \\ 2x - y = 7; \end{cases}$

6) $\begin{cases} x - y = 4, \\ x^2 + y^2 = 8. \end{cases}$

1) Дана система уравнений: $ \begin{cases} y = x + 3 \\ x^2 - 2y = 9 \end{cases} $.
Метод подстановки заключается в выражении одной переменной через другую из одного уравнения и подстановке этого выражения в другое уравнение. В данной системе $y$ уже выражен в первом уравнении.
Подставим выражение $y = x + 3$ во второе уравнение:
$x^2 - 2(x + 3) = 9$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$x^2 - 2x - 6 = 9$
$x^2 - 2x - 6 - 9 = 0$
$x^2 - 2x - 15 = 0$
Получили квадратное уравнение. Решим его по теореме Виета:
Сумма корней $x_1 + x_2 = 2$.
Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = -15$.
Подбором находим корни: $x_1 = 5$ и $x_2 = -3$.
Теперь найдем соответствующие значения $y$, подставив найденные значения $x$ в первое уравнение $y = x + 3$:
При $x_1 = 5$, $y_1 = 5 + 3 = 8$.
При $x_2 = -3$, $y_2 = -3 + 3 = 0$.
Таким образом, система имеет два решения.
Ответ: $(5; 8), (-3; 0)$.

2) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x + y = 5 \\ xy = 4 \end{cases} $.
Выразим одну из переменных из первого уравнения. Например, выразим $y$:
$y = 5 - x$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$x(5 - x) = 4$
$5x - x^2 = 4$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:
$x^2 - 5x + 4 = 0$
Решим это уравнение по теореме Виета:
Сумма корней $x_1 + x_2 = 5$.
Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = 4$.
Корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.
Найдем соответствующие значения $y$ из выражения $y = 5 - x$:
При $x_1 = 1$, $y_1 = 5 - 1 = 4$.
При $x_2 = 4$, $y_2 = 5 - 4 = 1$.
Система имеет два решения.
Ответ: $(1; 4), (4; 1)$.

3) Дана система уравнений: $ \begin{cases} y - x = 2 \\ x^2 - 2xy = 3 \end{cases} $.
Из первого уравнения выразим $y$:
$y = x + 2$
Подставим это выражение во второе уравнение системы:
$x^2 - 2x(x + 2) = 3$
$x^2 - 2x^2 - 4x = 3$
$-x^2 - 4x - 3 = 0$
Умножим уравнение на -1 для удобства:
$x^2 + 4x + 3 = 0$
Решим квадратное уравнение по теореме Виета:
Сумма корней $x_1 + x_2 = -4$.
Произведение корней $x_1 \cdot x_2 = 3$.
Корни уравнения: $x_1 = -1$ и $x_2 = -3$.
Найдем соответствующие значения $y$ из выражения $y = x + 2$:
При $x_1 = -1$, $y_1 = -1 + 2 = 1$.
При $x_2 = -3$, $y_2 = -3 + 2 = -1$.
Система имеет два решения.
Ответ: $(-1; 1), (-3; -1)$.

4) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x - 4y = 2 \\ xy + 2y = 8 \end{cases} $.
Из первого уравнения удобнее выразить $x$:
$x = 4y + 2$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$(4y + 2)y + 2y = 8$
$4y^2 + 2y + 2y = 8$
$4y^2 + 4y - 8 = 0$
Разделим все уравнение на 4:
$y^2 + y - 2 = 0$
Решим квадратное уравнение относительно $y$ по теореме Виета:
Сумма корней $y_1 + y_2 = -1$.
Произведение корней $y_1 \cdot y_2 = -2$.
Корни уравнения: $y_1 = 1$ и $y_2 = -2$.
Найдем соответствующие значения $x$ из выражения $x = 4y + 2$:
При $y_1 = 1$, $x_1 = 4(1) + 2 = 6$.
При $y_2 = -2$, $x_2 = 4(-2) + 2 = -8 + 2 = -6$.
Система имеет два решения.
Ответ: $(6; 1), (-6; -2)$.

5) Дана система уравнений: $ \begin{cases} xy = 15 \\ 2x - y = 7 \end{cases} $.
Из второго уравнения выразим $y$:
$-y = 7 - 2x$
$y = 2x - 7$
Подставим это выражение в первое уравнение:
$x(2x - 7) = 15$
$2x^2 - 7x = 15$
$2x^2 - 7x - 15 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 49 + 120 = 169 = 13^2$.
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm 13}{2 \cdot 2} = \frac{7 \pm 13}{4}$.
$x_1 = \frac{7 + 13}{4} = \frac{20}{4} = 5$.
$x_2 = \frac{7 - 13}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$.
Найдем соответствующие значения $y$ из выражения $y = 2x - 7$:
При $x_1 = 5$, $y_1 = 2(5) - 7 = 10 - 7 = 3$.
При $x_2 = -\frac{3}{2}$, $y_2 = 2(-\frac{3}{2}) - 7 = -3 - 7 = -10$.
Система имеет два решения.
Ответ: $(5; 3), (-\frac{3}{2}; -10)$.

6) Дана система уравнений: $ \begin{cases} x - y = 4 \\ x^2 + y^2 = 8 \end{cases} $.
Из первого уравнения выразим $x$:
$x = y + 4$
Подставим это выражение во второе уравнение:
$(y + 4)^2 + y^2 = 8$
Раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$(y^2 + 8y + 16) + y^2 = 8$
$2y^2 + 8y + 16 - 8 = 0$
$2y^2 + 8y + 8 = 0$
Разделим уравнение на 2:
$y^2 + 4y + 4 = 0$
Свернем левую часть по формуле полного квадрата:
$(y + 2)^2 = 0$
Уравнение имеет один корень:
$y + 2 = 0 \implies y = -2$.
Найдем соответствующее значение $x$ из выражения $x = y + 4$:
$x = -2 + 4 = 2$.
Система имеет одно решение.
Ответ: $(2; -2)$.

452. Решите методом подстановки систему уравнений:

1) $\begin{cases} x - y = 3, \\ xy = 28; \end{cases}$

2) $\begin{cases} y^2 - x = 14, \\ x - y = -2; \end{cases}$

3) $\begin{cases} y - 2x^2 = 2, \\ 3x + y = 1; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x^2 - 2y^2 = 8, \\ x + y = 6. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x - y = 3, \\ xy = 28 \end{cases}$

Выразим переменную $x$ из первого уравнения:

$x = 3 + y$

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$(3 + y) \cdot y = 28$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:

$3y + y^2 = 28$

$y^2 + 3y - 28 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно $-28$, а их сумма равна $-3$. Подбором находим корни: $y_1 = 4$ и $y_2 = -7$.

Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого найденного $y$:

Если $y_1 = 4$, то $x_1 = 3 + 4 = 7$.

Если $y_2 = -7$, то $x_2 = 3 + (-7) = -4$.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(7, 4)$, $(-4, -7)$.

2)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} y^2 - x = 14, \\ x - y = -2 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим переменную $x$:

$x = y - 2$

Подставим полученное выражение для $x$ в первое уравнение:

$y^2 - (y - 2) = 14$

Раскроем скобки и решим уравнение:

$y^2 - y + 2 = 14$

$y^2 - y - 12 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета: произведение корней равно $-12$, а сумма равна $1$. Корни: $y_1 = 4$ и $y_2 = -3$.

Найдем соответствующие значения $x$:

Если $y_1 = 4$, то $x_1 = 4 - 2 = 2$.

Если $y_2 = -3$, то $x_2 = -3 - 2 = -5$.

Система имеет два решения.

Ответ: $(2, 4)$, $(-5, -3)$.

3)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} y - 2x^2 = 2, \\ 3x + y = 1 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим переменную $y$:

$y = 1 - 3x$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$(1 - 3x) - 2x^2 = 2$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$-2x^2 - 3x + 1 - 2 = 0$

$-2x^2 - 3x - 1 = 0$

Умножим обе части на $-1$ для удобства:

$2x^2 + 3x + 1 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 - 8 = 1$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 \pm 1}{4}$

$x_1 = \frac{-3 + 1}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5$

$x_2 = \frac{-3 - 1}{4} = \frac{-4}{4} = -1$

Теперь найдем соответствующие значения $y$:

Если $x_1 = -0.5$, то $y_1 = 1 - 3(-0.5) = 1 + 1.5 = 2.5$.

Если $x_2 = -1$, то $y_2 = 1 - 3(-1) = 1 + 3 = 4$.

Система имеет два решения.

Ответ: $(-0.5, 2.5)$, $(-1, 4)$.

4)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 - 2y^2 = 8, \\ x + y = 6 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим переменную $x$:

$x = 6 - y$

Подставим это выражение в первое уравнение:

$(6 - y)^2 - 2y^2 = 8$

Раскроем скобки и упростим:

$(36 - 12y + y^2) - 2y^2 = 8$

$36 - 12y - y^2 = 8$

$-y^2 - 12y + 36 - 8 = 0$

$-y^2 - 12y + 28 = 0$

Умножим обе части на $-1$:

$y^2 + 12y - 28 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28) = 144 + 112 = 256$

$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 \pm \sqrt{256}}{2 \cdot 1} = \frac{-12 \pm 16}{2}$

$y_1 = \frac{-12 + 16}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$y_2 = \frac{-12 - 16}{2} = \frac{-28}{2} = -14$

Найдем соответствующие значения $x$:

Если $y_1 = 2$, то $x_1 = 6 - 2 = 4$.

Если $y_2 = -14$, то $x_2 = 6 - (-14) = 6 + 14 = 20$.

Система имеет два решения.

Ответ: $(4, 2)$, $(20, -14)$.