Номер 3, страница 126 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

3. В каких случаях графический метод является наиболее эффективным?

Графический метод является мощным инструментом визуализации, который становится наиболее эффективным в ряде конкретных случаев, когда наглядность и качественная оценка преобладают над точностью вычислений.

Решение уравнений, неравенств и их систем

Графический метод особенно полезен, когда необходимо получить быстрое представление о количестве решений и их приблизительных значениях, а не точные аналитические выкладки. Он позволяет визуально оценить точки пересечения или взаимного расположения графиков функций. Например, для решения системы уравнений вида $\{y = f(x), y = g(x)\}$ строится два графика, и координаты точек их пересечения являются решениями системы. Этот метод незаменим, когда одна из функций в уравнении нелинейна или трансцендентна (например, $2^x = x+2$), и аналитическое решение найти сложно или невозможно. Также он отлично подходит для решения неравенств, где решением является область на координатной плоскости.

Ответ: Графический метод эффективен для определения количества корней и их приблизительных значений, особенно когда точное аналитическое решение затруднено или не требуется, а функции легко изобразить.

Анализ данных и выявление закономерностей

В статистике и анализе данных графический метод — один из основных инструментов. Человеческий мозг гораздо лучше воспринимает визуальную информацию, чем сухие цифры в таблице. Графики (гистограммы, диаграммы рассеяния, линейные графики) позволяют мгновенно выявить:

• Тренды и тенденции (например, рост продаж со временем).
• Корреляции и зависимости между переменными.
• Выбросы (аномальные значения), которые выделяются на общем фоне.
• Распределение данных (например, нормальное распределение на гистограмме).

Этот метод является основой разведочного анализа данных (Exploratory Data Analysis).

Ответ: В анализе данных для быстрой качественной оценки, выявления трендов, аномалий (выбросов), кластеров и корреляций, которые сложно заметить в табличных данных.

Задачи оптимизации (линейное программирование)

В задачах линейного программирования с двумя переменными графический метод является классическим и наиболее наглядным. Он позволяет построить на плоскости область допустимых решений (ОДР), которая формируется системой линейных неравенств-ограничений. Оптимальное решение, максимизирующее или минимизирующее целевую функцию вида $Z = c_1x_1 + c_2x_2 \to \max(\min)$, всегда находится в одной из вершин этого многоугольника. Графический метод позволяет не только найти эту вершину, но и понять, как изменится решение при изменении коэффициентов целевой функции или ограничений.

Ответ: При решении задач линейного программирования с двумя переменными, где он позволяет наглядно определить область допустимых решений и найти оптимальную точку.

Исследование свойств функций

Перед тем как проводить детальное аналитическое исследование функции с помощью производных, построение её эскизного графика дает ценную информацию. График сразу показывает промежутки монотонности (возрастания и убывания), точки экстремумов, выпуклость и вогнутость, наличие асимптот и поведение функции на бесконечности. Это позволяет сформировать гипотезы и проверить их уже аналитически, а также избежать грубых ошибок в расчетах.

Ответ: Для качественного исследования свойств функции (монотонность, экстремумы, асимптоты) и получения общего представления о её поведении без проведения громоздких вычислений.

Наглядное представление и коммуникация

Пожалуй, самое широкое применение графического метода — это представление результатов. В отчетах, презентациях, научных статьях и учебных материалах графики используются для того, чтобы сделать сложную информацию понятной и доступной для широкой аудитории. Сравнить показатели, показать долевое участие, продемонстрировать динамику процесса гораздо эффективнее с помощью диаграммы или графика, чем с помощью текста или таблицы.

Ответ: В ситуациях, когда необходимо доступно и убедительно представить сложную информацию, результаты исследований или зависимости между величинами широкой аудитории.