Номер 455, страница 127 - гдз по алгебре 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

455. Решите систему уравнений:

1) $\begin{cases} 3x + 4y = 24, \\ xy = 12; \end{cases}$

2) $\begin{cases} y + 2x = 0, \\ x^2 + y^2 - 6y = 0; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 - xy - y^2 = 19, \\ x - y = 7; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x + y = 5, \\ (x - 3)(y + 5) = 6; \end{cases}$

5) $\begin{cases} 4y - 3x = 4, \\ 5x^2 + 16y = 60; \end{cases}$

6) $\begin{cases} x^2 + 3xy + y^2 - x - 2y = 3, \\ x + y = 3. \end{cases}$

1)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 3x + 4y = 24, \\ xy = 12 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $y$ через $x$. Так как $xy=12$, то $x \neq 0$ и $y \neq 0$. Получаем $y = \frac{12}{x}$.

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$3x + 4\left(\frac{12}{x}\right) = 24$

$3x + \frac{48}{x} = 24$

Умножим обе части уравнения на $x$, чтобы избавиться от дроби:

$3x^2 + 48 = 24x$

Перенесём все слагаемые в левую часть и приведём уравнение к стандартному виду:

$3x^2 - 24x + 48 = 0$

Разделим обе части уравнения на 3 для упрощения:

$x^2 - 8x + 16 = 0$

Левая часть уравнения является полным квадратом разности:

$(x - 4)^2 = 0$

Отсюда следует, что $x - 4 = 0$, то есть $x = 4$.

Теперь найдем соответствующее значение $y$:

$y = \frac{12}{x} = \frac{12}{4} = 3$.

Решением системы является пара чисел $(4, 3)$.

Ответ: $(4, 3)$.

2)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} y + 2x = 0, \\ x^2 + y^2 - 6y = 0 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = -2x$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$x^2 + (-2x)^2 - 6(-2x) = 0$

$x^2 + 4x^2 + 12x = 0$

$5x^2 + 12x = 0$

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$x(5x + 12) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1. $x_1 = 0$.

Тогда $y_1 = -2x_1 = -2(0) = 0$. Первое решение: $(0, 0)$.

2. $5x + 12 = 0$.

$5x_2 = -12 \implies x_2 = -\frac{12}{5}$.

Тогда $y_2 = -2x_2 = -2\left(-\frac{12}{5}\right) = \frac{24}{5}$. Второе решение: $(-\frac{12}{5}, \frac{24}{5})$.

Система имеет два решения.

Ответ: $(0, 0)$, $(-\frac{12}{5}, \frac{24}{5})$.

3)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - xy - y^2 = 19, \\ x - y = 7 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $x$ через $y$:

$x = y + 7$.

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$(y + 7)^2 - (y + 7)y - y^2 = 19$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$(y^2 + 14y + 49) - (y^2 + 7y) - y^2 = 19$

$y^2 + 14y + 49 - y^2 - 7y - y^2 = 19$

Приведём подобные слагаемые:

$-y^2 + 7y + 49 = 19$

$-y^2 + 7y + 30 = 0$

Умножим обе части на -1:

$y^2 - 7y - 30 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а произведение -30. Корни: $y_1=10$ и $y_2=-3$.

Найдем соответствующие значения $x$ для каждого $y$:

1. Если $y_1 = 10$, то $x_1 = 10 + 7 = 17$. Первое решение: $(17, 10)$.

2. Если $y_2 = -3$, то $x_2 = -3 + 7 = 4$. Второе решение: $(4, -3)$.

Ответ: $(17, 10)$, $(4, -3)$.

4)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 5, \\ (x - 3)(y + 5) = 6 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 5 - x$.

Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$(x - 3)((5 - x) + 5) = 6$

$(x - 3)(10 - x) = 6$

Раскроем скобки:

$10x - x^2 - 30 + 3x = 6$

Приведём подобные слагаемые и запишем уравнение в стандартном виде:

$-x^2 + 13x - 30 = 6$

$-x^2 + 13x - 36 = 0$

$x^2 - 13x + 36 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 13, а произведение 36. Корни: $x_1=4$ и $x_2=9$.

Найдем соответствующие значения $y$:

1. Если $x_1 = 4$, то $y_1 = 5 - 4 = 1$. Первое решение: $(4, 1)$.

2. Если $x_2 = 9$, то $y_2 = 5 - 9 = -4$. Второе решение: $(9, -4)$.

Ответ: $(4, 1)$, $(9, -4)$.

5)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 4y - 3x = 4, \\ 5x^2 + 16y = 60 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $4y$:

$4y = 3x + 4$.

Во втором уравнении есть член $16y$, который можно представить как $4 \cdot (4y)$. Подставим в него выражение для $4y$:

$16y = 4(3x + 4) = 12x + 16$.

Теперь подставим это вo второе уравнение системы:

$5x^2 + (12x + 16) = 60$

$5x^2 + 12x + 16 - 60 = 0$

$5x^2 + 12x - 44 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 12^2 - 4(5)(-44) = 144 + 880 = 1024$.

$\sqrt{D} = \sqrt{1024} = 32$.

Найдем корни уравнения для $x$:

$x_1 = \frac{-12 + 32}{2 \cdot 5} = \frac{20}{10} = 2$.

$x_2 = \frac{-12 - 32}{2 \cdot 5} = \frac{-44}{10} = -\frac{22}{5}$.

Теперь найдем соответствующие значения $y$ из уравнения $4y = 3x + 4$, или $y = \frac{3x+4}{4}$:

1. Для $x_1 = 2$:

$y_1 = \frac{3(2) + 4}{4} = \frac{6+4}{4} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$. Первое решение: $(2, \frac{5}{2})$.

2. Для $x_2 = -\frac{22}{5}$:

$y_2 = \frac{3(-\frac{22}{5}) + 4}{4} = \frac{-\frac{66}{5} + \frac{20}{5}}{4} = \frac{-\frac{46}{5}}{4} = -\frac{46}{20} = -\frac{23}{10}$. Второе решение: $(-\frac{22}{5}, -\frac{23}{10})$.

Ответ: $(2, \frac{5}{2})$, $(-\frac{22}{5}, -\frac{23}{10})$.

6)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + 3xy + y^2 - x - 2y = 3, \\ x + y = 3 \end{cases} $

Преобразуем первое уравнение, выделив в нем известные из второго уравнения выражения $(x+y)$ и $(x+y)^2$:

$x^2 + 2xy + y^2 + xy - (x + y) - y = 3$

$(x+y)^2 + xy - (x+y) - y = 3$

Подставим значение $x+y=3$ из второго уравнения в преобразованное первое:

$3^2 + xy - 3 - y = 3$

$9 + xy - 3 - y = 3$

$6 + xy - y = 3$

$xy - y = -3$

$y(x-1) = -3$.

Теперь у нас есть более простая система:

$ \begin{cases} x + y = 3, \\ y(x-1) = -3 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $y = 3 - x$ и подставим во второе:

$(3-x)(x-1) = -3$

$3x - 3 - x^2 + x = -3$

$-x^2 + 4x - 3 = -3$

$-x^2 + 4x = 0$

$x^2 - 4x = 0$

$x(x-4) = 0$.

Отсюда получаем два значения для $x$:

1. $x_1 = 0$.

Тогда $y_1 = 3 - x_1 = 3 - 0 = 3$. Первое решение: $(0, 3)$.

2. $x - 4 = 0 \implies x_2 = 4$.

Тогда $y_2 = 3 - x_2 = 3 - 4 = -1$. Второе решение: $(4, -1)$.

Ответ: $(0, 3)$, $(4, -1)$.